前言与使用说明 · 格物致知

第一部分　预备知识　｜　第二部分　统计热力学　｜　第三部分　量子统计　｜　第四部分　相互作用系统与相变　｜　第五部分　涨落与非平衡统计物理　｜　第六部分　选讲专题与总结

版本：v1.0（Markdown 版；后续将转换为 LaTeX 版与 HTML 版）。v1.0 的更新：写完数学附录（附录 A 微积分 A1–A15、附录 B 线性代数 B1–B4、附录 C 概率与统计 C1–C9），并在正文每个【数学提示】处注明对应的附录小节；至此全书完成。v0.7：第四部分（第17–21章）、第五部分（第22–26章）与第六部分其余各章（第29–33章）。v0.6：第三部分（第14–16章）与历史专题（二）。v0.5：第12、13章，调整大纲。v0.4：第10、11章。v0.3：预备章 P1–P5。v0.2：第一部分结语、第9章与历史专题（一）。

目标与读者

本讲义的目标是：从微观力学（量子力学或经典力学）出发，一步一步地推导出宏观热力学的全部结构，并学会用"配分函数"计算具体物理系统的热力学性质。

假定的读者背景：具有一定的（但不一定牢固的）微积分、线性代数、概率统计知识；学过经典热力学，但已大部分遗忘。因此第1章先对第二部分要用到的热力学内容做简明回顾；第三部分以后需要的其他物理基础（经典力学、量子力学、电磁学等）安排在第一部分的预备章 P1–P5 中。

写作约定

推导完整：正文中用到的结论都在正文中给出推导。热力学定律本身是经验公设，不加证明（第3、4章会给出它们的微观来源）。少数来自力学、量子力学的"输入"（例如谐振子的能级）会明确标出；预备章中作为出发点的基本定律以"【物理输入】"标出；少数只用于对照、推导超出本讲义范围的结果（如二维伊辛模型的昂萨格解、 $\varepsilon$ 展开的系数、三维临界指数的数值）以"【结果引用】"标出。
数学提示：凡用到微积分、线性代数、概率统计的知识，都以"【数学提示编号｜主题】"的引用块标出，例如【数学提示 A2｜全微分与恰当微分】。编号对应书末的数学附录（附录 A 微积分、附录 B 线性代数、附录 C 概率与统计，目录见下表），每个提示块的末尾注明了附录中的相应小节；正文行文中简短的"（提示 A3）"也指同一编号的附录。量子力学的输入以"【量子力学提示 D编号】"标出；D 编号对应的内容见第一部分的预备章 P2（§P2.2–§P2.6）。
公式编号：形如 (3.12)，表示第3章第12个编号公式；"§3.2"表示第3章第2节。
自测题：各章末附少量自测题，用于主动回忆；方括号内为答案或提示。
物理预备章：后续各部分需要的其他物理基础放在第一部分的预备章 P1–P5 中；它们用带字母 P 的编号，以免改动已写好的章节号、公式编号与交叉引用（转换为 LaTeX 版时可统一重新编号）。

附录目录（与正文中的提示编号对应；D 编号的内容见预备章 P2）

编号	内容
A1	多元函数、偏导数与链式法则
A2	全微分、恰当微分与混合偏导数相等
A3	泰勒展开（一元与多元）
A4	偏导数恒等式：倒数关系、循环关系、换固定变量
A5	勒让德变换
A6	重积分与变量替换（极坐标、球坐标、雅可比行列式）
A7	含参变量积分：积分号下求导
A8	条件极值与拉格朗日乘子法
A9	齐次函数与欧拉定理
A10	级数：几何级数、指数与对数展开、用积分近似求和
A11	矢量分析：梯度、散度、旋度与连续性方程
A12	变分法初步
A13	复数、复指数与常系数线性常微分方程
A14	傅里叶级数、傅里叶变换与 δ 函数
A15	偏微分方程初步（扩散方程、波动方程）
B1	向量、内积与二次型
B2	实对称矩阵的正交对角化
B3	行列式与线性变换的体积因子
B4	复向量空间、厄米算符与狄拉克记号
C1	随机变量与概率分布（离散与连续）
C2	期望、方差与矩；詹森不等式
C3	联合分布、边缘分布与独立性
C4	排列组合与二项分布
C5	高斯（正态）分布
C6	大数定律与中心极限定理
C7	随机变量的变换（概率密度的变换）
C8	泊松分布
C9	随机过程：平稳过程、马尔可夫过程、关联函数与功率谱
D1	定态薛定谔方程与盒中粒子（见 §P2.2）
D2	谐振子的能级（见 §P2.3）
D3	刚性转子与角动量（见 §P2.4）
D4	自旋与磁矩（见 §P2.5）
D5	全同粒子与交换对称性（见 §P2.6）

常用记号与常数

记号	含义
$k_{\mathrm B}$	玻尔兹曼常数， $1.380649\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$
$\beta$	$1/(k_{\mathrm B}T)$
$h,\ \hbar$	普朗克常数 $6.62607015\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ ； $\hbar = h/2\pi$
$N_{\mathrm A},\ R$	阿伏伽德罗常数 $6.02214076\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ；气体常数 $R = N_{\mathrm A}k_{\mathrm B} = 8.3145\ \mathrm{J/(mol\,K)}$
$\mathcal H$	哈密顿量（区别于焓 $H$ ）
$E_i,\ \varepsilon_l$	整个系统第 $i$ 个微观态的能量；单个粒子第 $l$ 个能级的能量
$U$	内能（系统能量的平均值）
$P_i$	系统处于微观态 $i$ 的概率
$\Omega(E,V,N)$	能量在 $[E,E+\delta E]$ 内的微观态数
$\Phi(E)$	能量不超过 $E$ 的微观态总数
$Z,\ q,\ \Xi$	正则配分函数；单粒子（分子）配分函数；巨配分函数
$F,\ G,\ J$	亥姆霍兹自由能；吉布斯自由能；巨势 $J = F-\mu N$
$\lambda$	热波长 $h/\sqrt{2\pi mk_{\mathrm B}T}$
$\langle A\rangle$	$A$ 的系综平均
$\delta Q,\ \delta W$	过程中系统吸收的热、外界对系统做的功（不恰当微分，见 §1.3）
$\ln$	自然对数