齐次函数与欧拉定理

正文用到本节的地方：§1.9（欧拉关系 $U = TS - pV + \mu N$ 与吉布斯–杜安关系）、§P1.2（哈密顿量等于动能加势能）、§5.5（能量均分定理）、§19.7 与 §20.4（临界点附近的标度形式，"广义齐次函数"）。

§A9.1定义与例子

若对一切 $\lambda>0$

则称 $f$ 是 $k$ 次齐次函数。例：$x^2 + 3xy$（$k = 2$）；$\sqrt{x^2+y^2}$（$k = 1$）；$x/y$、$e^{x/y}$（$k = 0$）；$1/\lvert\mathbf r\rvert$（$k = -1$）。$x + 1$ 不是齐次函数。

物理中的齐次函数：

• 广延量是其广延自变量的一次齐次函数：把系统复制 $\lambda$ 份并合在一起，$U(\lambda S,\lambda V,\lambda N) = \lambda U(S,V,N)$。强度量是零次齐次函数：$T(\lambda S,\lambda V,\lambda N) = T(S,V,N)$。（这里假设表面效应、长程力可以忽略。）
• 动能 $\frac12\sum m_i\dot q_i^2$（或任意关于速度的二次型）是速度的二次齐次函数。
• 幂律势 $V\propto r^n$ 是坐标的 $n$ 次齐次函数：谐振势 $n = 2$，引力与库仑势 $n = -1$。

反例与吉布斯佯谬。 若把理想气体的熵写成 $S = Nk_{\mathrm B}\ln V + \frac32Nk_{\mathrm B}\ln(U/N) + Ns_1$（没有 $1/N!$ 修正的结果），则 $S(\lambda U,\lambda V,\lambda N) = \lambda S + \lambda Nk_{\mathrm B}\ln\lambda\ne\lambda S$：它不是一次齐次的，熵不是广延量。这正是吉布斯佯谬（§3.7）的数学表现；把 $\ln V$ 换成 $\ln(V/N)$ 后恢复了齐次性。§1.11 推导 (1.27) 时正是用齐次性定出了积分常数对 $N$ 的依赖。

§A9.2欧拉定理

定理：若 $f$ 是 $k$ 次齐次函数（且可微），则

证明：把 (A9.1) 两边对 $\lambda$ 求导。左边是复合函数，第 $i$ 个自变量 $\lambda x_i$ 对 $\lambda$ 的导数是 $x_i$，由链式法则 (A1.3) 得 $\sum_ix_i\,(\partial_if)(\lambda\mathbf x)$；右边是 $k\lambda^{k-1}f(\mathbf x)$。令 $\lambda = 1$ 即得 (A9.2)。$\square$

逆定理：若 (A9.2) 对一切 $\mathbf x$ 成立，则 $f$ 是 $k$ 次齐次的。证明：令 $\phi(\lambda) = f(\lambda\mathbf x)/\lambda^k$。在点 $\lambda\mathbf x$ 处用 (A9.2)，得 $\sum_ix_i\,(\partial_if)(\lambda\mathbf x) = kf(\lambda\mathbf x)/\lambda$，于是

$\phi$ 是常数，等于 $\phi(1) = f(\mathbf x)$，这就是 (A9.1)。

检验：$f = x^2 + 3xy$，$xf_x + yf_y = x(2x + 3y) + y\cdot3x = 2x^2 + 6xy = 2f$。

§A9.3齐次函数的导数

若 $f$ 是 $k$ 次齐次的，则每个偏导数 $\partial f/\partial x_j$ 是 $k-1$ 次齐次的：把 (A9.1) 两边对 $x_j$ 求导，左边由链式法则多出一个因子 $\lambda$，

热力学推论：$T = \partial U/\partial S$、$-p = \partial U/\partial V$、$\mu = \partial U/\partial N$ 都是零次齐次的，即强度量。取 $\lambda = 1/N$：

强度量只依赖于"密度"（每个粒子的熵 $s$、体积 $v$），与系统大小无关。这就是 §1.9 末尾写 $d\mu = -s\,dT + v\,dp$ 的根据。

§A9.4热力学：欧拉关系与吉布斯–杜安关系

$U(S,V,N)$ 一次齐次，由 (A9.2)：$U = S\,\partial_SU + V\,\partial_VU + N\,\partial_NU = TS - pV + \mu N$，即 (1.23)。

只对部分变量齐次。$F(T,V,N)$ 中 $T$ 是强度量，不随系统放大而改变，所以 $F$ 只对 $(V,N)$ 一次齐次：$F(T,\lambda V,\lambda N) = \lambda F(T,V,N)$。把欧拉定理只用于被放大的变量：

与 $G = F + pV = \mu N$ 一致。同理 $G(T,p,N) = N\,\partial G/\partial N = \mu N$；多组分时 $G = \sum_i\mu_iN_i$。

例：理想气体。$F = -Nk_{\mathrm B}T\left[\ln\frac{V}{N\lambda^3} + 1\right]$（$\lambda$ 为热波长，只依赖于 $T$）。$\partial F/\partial V = -Nk_{\mathrm B}T/V = -p$；$\partial F/\partial N = -k_{\mathrm B}T\ln\frac{V}{N\lambda^3} = \mu$（与 (3.17) 一致）。于是 $-pV + \mu N = -Nk_{\mathrm B}T - Nk_{\mathrm B}T\ln\frac{V}{N\lambda^3} = F$，(A9.4) 成立。

吉布斯–杜安关系：对 (1.23) 求全微分，$dU = T\,dS + S\,dT - p\,dV - V\,dp + \mu\,dN + N\,d\mu$；减去 $dU = T\,dS - p\,dV + \mu\,dN$ 即得 (1.25)。它表达的正是 §A9.3 的结论：三个强度量只依赖于两个密度，因而彼此不独立。

§A9.5力学：哈密顿量、能量均分与位力定理

(a) 哈密顿量就是能量（§P1.2）。动能 $T$ 是 $\dot q$ 的二次齐次函数，$p_i = \partial T/\partial\dot q_i$（势能不含速度），由 (A9.2) 取 $k = 2$：$\sum_ip_i\dot q_i = 2T$。所以 $H = \sum_ip_i\dot q_i - L = 2T - (T - V) = T + V$。

(b) 能量均分（§5.5）。广义均分定理 (5.15) 说 $\langle x_i\,\partial\mathcal H/\partial x_j\rangle = \delta_{ij}k_{\mathrm B}T$。若 $\mathcal H$ 是 $f$ 个变量的二次齐次函数，对 $i = j$ 求和并用 (A9.2)：$2\langle\mathcal H\rangle = fk_{\mathrm B}T$。更一般地，若 $\mathcal H$ 中依赖于某组 $f'$ 个变量的部分 $\mathcal H_1$ 是这些变量的 $s$ 次齐次函数（其余部分不含这些变量），同样的论证给出 $\langle\mathcal H_1\rangle = f'k_{\mathrm B}T/s$。例：极端相对论性粒子 $\varepsilon = c\lvert\mathbf p\rvert$ 是 $\mathbf p$ 的一次齐次函数，所以 $\langle\varepsilon\rangle = 3k_{\mathrm B}T$（而非 $\frac32k_{\mathrm B}T$）。

(c) 位力定理。设粒子在有界区域内运动，势能 $V$ 是坐标的 $n$ 次齐次函数。考虑 $G = \sum_i\mathbf p_i\cdot\mathbf r_i$：

（第一项用了牛顿方程 $\dot{\mathbf p}_i = -\nabla_iV$ 与 (A9.2)，第二项用了 $\mathbf p\cdot\dot{\mathbf r} = m\dot r^2 = 2\times$动能。）对很长的时间取平均，有界运动中 $G$ 有界，$\overline{dG/dt} = [G(\tau) - G(0)]/\tau\to0$，所以

谐振子（$n = 2$）：$\overline T = \overline V$。引力或库仑系统（$n = -1$）：$2\overline T = -\overline V$，总能量 $E = \overline T + \overline V = -\overline T$。于是自引力系统（例如恒星）失去能量（辐射）时 $\overline T$ 反而增加——它"越冷却越热"，热容为负。这类系统的熵不是能量的凹函数，正则系综与微正则系综不等价（参见 §A5.4）。第17章"位力展开"的名称来自克劳修斯（1870）定义的位力 $-\frac12\sum_i\mathbf r_i\cdot\mathbf F_i$（他的定理说：动能的时间平均等于位力）。

§A9.6广义齐次函数与标度

若存在指数 $a_1,\dots,a_n$ 使

则称 $f$ 为广义齐次函数。与 §A9.2 同样的论证给出广义欧拉定理 $\sum_ia_ix_i\,\partial_if = kf$，并且 $\partial f/\partial x_j$ 满足同样形式的关系，"次数"变为 $k - a_j$。

临界标度（§19.7、§20.4）。重整化群给出的 (20.5) 可以写成 $f_{\mathrm s}(\lambda^{y_t}t,\lambda^{y_h}h) = \lambda^df_{\mathrm s}(t,h)$（令 $\lambda = b$），即 $f_{\mathrm s}$ 是 $(t,h)$ 的广义齐次函数，$a_t = y_t$，$a_h = y_h$，$k = d$。广义齐次函数的关键用法是选择 $\lambda$ 使某个自变量变成常数：取 $\lambda = \lvert t\rvert^{-1/y_t}$，则 $\lambda^{y_t}t = \pm1$，

这就是维多姆形式 (19.21)：一个两变量的函数被化为"幂律 × 一个单变量函数"，所有临界指数都来自"次数"的记账。例如 $m = -\partial f_{\mathrm s}/\partial h$ 的次数是 $d - y_h$，零场时 $m\propto\lvert t\rvert^{(d-y_h)/y_t}$，所以 $\beta = (d - y_h)/y_t$。

量纲分析是同一思想的另一种形式：物理规律在改变单位时形式不变，所以物理量必须是各参数的（广义）齐次组合。例如热波长 $\lambda = h/\sqrt{2\pi mk_{\mathrm B}T}$ 是由 $h$、$m$、$k_{\mathrm B}T$ 唯一能组成的长度（除数值因子外；$\sqrt{2\pi}$ 是约定）。

自测题

1. 判断下列函数是否齐次，若是，求次数：(a) $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$；(b) $\ln x - \ln y$；(c) $(x^2 + y^2)^{-1/2}$；(d) $x^2 + y$。［答：3；0；$-1$；不是。］
2. 一维经典粒子在势 $V = A\lvert x\rvert^n$ 中，与温度 $T$ 的热源接触。证明 $\langle V\rangle = k_{\mathrm B}T/n$。［提示：$\langle x\,V'(x)\rangle = k_{\mathrm B}T$，而 $xV' = nV$；或直接计算 $q_x\propto\int e^{-\beta A\lvert x\rvert^n}dx\propto\beta^{-1/n}$。］
3. 证明极端相对论性理想气体的 $C_V = 3Nk_{\mathrm B}$。
4. 由 (20.5) 在 $t = 0$ 处取 $\lambda = h^{-1/y_h}$，证明 $m\propto h^{(d-y_h)/y_h}$，从而 $\delta = y_h/(d - y_h)$。
5. 用位力定理估计氢原子基态：库仑势 $n = -1$，基态能量 $E = -13.6$ eV。求动能与势能的平均值。［答：$\overline T = 13.6$ eV，$\overline V = -27.2$ eV。（量子力学中位力定理对定态同样成立。）］