复数、复指数与常系数线性常微分方程

正文用到本节的地方：阻尼与受迫振动、响应函数（§P1.4）；复阻抗与 $RC$ 电路（§P3.6）；晶格振动的试探解 $e^{i(kna - \omega t)}$（§10.4、§10.5）；波包与群速度（§11.3）；朗之万方程的解（§23.3 的 (23.5)）；过阻尼极限（§23.4）；主方程的弛豫（§23.6）；线性响应（第24章）。

§A13.1复数回顾

复数 $z = x + iy$（$i^2 = -1$），实部 $\mathrm{Re}\,z = x$，虚部 $\mathrm{Im}\,z = y$。共轭 $z^\ast = x - iy$，模 $\lvert z\rvert = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\lvert z\rvert^2 = zz^\ast$。由此 $\mathrm{Re}\,z = (z + z^\ast)/2$，$\mathrm{Im}\,z = (z - z^\ast)/(2i)$；除法通过"分子分母同乘分母的共轭"化为乘法：

（§P1.4 由 (P1.12) 求 (P1.13) 的实部、虚部用的就是这一步。）把 $z$ 看成平面上的点 $(x,y)$，用极坐标写成 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，$r = \lvert z\rvert$，$\theta$ 称为辐角。

§A13.2欧拉公式

推导一（级数）：把 $x = i\theta$ 代入 $e^x = \sum x^n/n!$ (A10.4)，按 $i^n$ 的周期性 $1,i,-1,-i,\dots$ 把偶次项与奇次项分开：偶次项是 $1 - \theta^2/2! + \theta^4/4! - \cdots = \cos\theta$，奇次项是 $i(\theta - \theta^3/3! + \cdots) = i\sin\theta$。

推导二（微分方程）：令 $g(\theta) = e^{-i\theta}(\cos\theta + i\sin\theta)$，则 $g' = e^{-i\theta}[-i(\cos\theta + i\sin\theta) + (-\sin\theta + i\cos\theta)] = 0$，而 $g(0) = 1$，所以 $g\equiv1$。

推论：

1. 极坐标形式 $z = re^{i\theta}$。乘法变得简单：$r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$——模相乘、辐角相加。
2. $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$，$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$。三角恒等式都可以由指数的乘法规则得到，例如 $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$ 的实部、虚部就是两角和公式。正文中常用的两个：

（前者给出一维单原子链的色散关系 (10.7)，后者用于 §10.5 的双原子链。） 3. 双曲函数：$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$，$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，$\tanh x = \sinh x/\cosh x$。与三角函数的关系：$\cos(ix) = \cosh x$，$\sin(ix) = i\sinh x$。所以三角恒等式都有双曲版本：$\cosh^2x - \sinh^2x = 1$，$\sinh2x = 2\sinh x\cosh x$，$\cosh2x = \cosh^2x + \sinh^2x$；导数 $(\cosh x)' = \sinh x$，$(\tanh x)' = 1/\cosh^2x$。两能级系统、伊辛模型中到处是 $\ln(2\cosh x)$、$\tanh x$（第6、18章），因为 $e^{x} + e^{-x} = 2\cosh x$。

单位根与周期性边界条件。方程 $e^{i\theta} = 1$ 的解是 $\theta = 2\pi n$（$n$ 为整数）。周期性边界条件 $u_{n+N} = u_n$ 对试探解 $e^{ikna}$ 要求 $e^{ikNa} = 1$，所以 $k = \frac{2\pi}{Na}m$——这就是 §10.3、§11.3 中允许波矢的来源。相应的离散正交关系是

证明：$m$ 是 $N$ 的倍数时每一项都是 1；否则 $r = e^{2\pi im/N}\ne1$，由几何级数 (A10.3)，和为 $(1 - r^N)/(1 - r) = 0$，因为 $r^N = e^{2\pi im} = 1$。(A13.3) 是离散傅里叶变换（以及晶格中的布洛赫波、声子）的基础：不同 $k$ 的平面波在晶格上"正交"。

§A13.3用复数描述振动与波

为什么用复指数。对指数函数，求导变成乘法：$\frac{d}{dt}e^{-i\omega t} = -i\omega\,e^{-i\omega t}$，$\nabla e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} = i\mathbf k\,e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$。于是常系数线性微分方程变成代数方程。而三角函数求导时 $\cos$ 与 $\sin$ 来回变换，计算繁琐得多。

取实部的规则。设物理方程是实系数的线性方程。若复函数 $z(t)$ 是解，则它的共轭 $z^\ast$ 也是解（对方程取共轭，系数不变），从而实部 $(z + z^\ast)/2$ 也是解。所以可以：用复数计算，最后取实部。正文的约定是 $F(t) = \mathrm{Re}[F_0e^{-i\omega t}]$，即时间因子为 $e^{-i\omega t}$，$d/dt\to-i\omega$（物理学的习惯）。工程书中常用 $e^{+j\omega t}$（$j = -i$），所有公式中 $i$ 换成 $-j$，物理结果相同。

注意：非线性运算不能"先用复数、最后取实部"。 例如功率是两个量的乘积，$\mathrm{Re}(a)\,\mathrm{Re}(b)\ne\mathrm{Re}(ab)$。正确的做法是对乘积取时间平均：设 $a(t) = \mathrm{Re}[Ae^{-i\omega t}]$，$b(t) = \mathrm{Re}[Be^{-i\omega t}]$，则

证明：$a = \frac12(Ae^{-i\omega t} + A^\ast e^{i\omega t})$，$b$ 同理；乘开后 $e^{\mp2i\omega t}$ 的项在一个周期内平均为零，剩下 $\frac14(AB^\ast + A^\ast B) = \frac12\mathrm{Re}(AB^\ast)$。

例：(P1.14)。外力 $F = \mathrm{Re}[F_0e^{-i\omega t}]$，速度 $\dot x = \mathrm{Re}[-i\omega\chi F_0e^{-i\omega t}]$。由 (A13.4)，平均功率为 $\frac12\mathrm{Re}[F_0(-i\omega\chi F_0)^\ast] = \frac12\omega F_0^2\,\mathrm{Re}(i\chi^\ast)$。而 $i\chi^\ast = i(\chi' - i\chi'') = \chi'' + i\chi'$，所以 $\bar P = \frac12\omega\chi''F_0^2$：耗散只由响应函数的虚部决定。

复阻抗。对电路元件，令电流 $I = \mathrm{Re}[\hat Ie^{-i\omega t}]$、电压 $V = \mathrm{Re}[\hat Ve^{-i\omega t}]$，定义 $\hat V = Z\hat I$：电阻 $Z_R = R$；电感 $V = L\,dI/dt$ 给出 $Z_L = -i\omega L$；电容 $I = C\,dV/dt$ 给出 $\hat I = -i\omega C\hat V$，即 $Z_C = \frac{i}{\omega C}$。阻抗的串联、并联规则与电阻相同。§P3.6 的 $RC$ 低通电路：电源（噪声源）电压 $\hat V_{\mathrm s}$ 加在 $R$ 与 $C$ 的串联上（§P3.6 中 $R$ 与 $C$ 并联；把 $R$ 的噪声写成与 $R$ 串联的电压源后，在 $\hat V_{\mathrm s}$、$R$、$C$ 组成的回路中 $R$ 与 $C$ 是串联的），电容上的电压为

（正文用工程约定写成 $1/\lvert1 + i2\pi fRC\rvert$，模相同。）$\omega\ll1/RC$ 的分量几乎全部通过，$\omega\gg1/RC$ 的分量被衰减。

拍与群速度（§11.3）。两个频率、波数相近的波叠加：

（$\bar k = (k_1 + k_2)/2$，$\Delta k = k_1 - k_2$，$\omega$ 同理。）快速振荡的"载波"以相速度 $\bar\omega/\bar k$ 前进，缓慢变化的包络以 $\Delta\omega/\Delta k\to d\omega/dk$ 前进——这就是群速度，能量与信息以它传播。

§A13.4一阶线性常微分方程

齐次方程（$f = 0$）：$\dot x/x = -\gamma$，积分得 $x = x_0e^{-\gamma t}$：指数弛豫，弛豫时间 $\tau = 1/\gamma$。

非齐次方程：积分因子法。两边乘以 $e^{\gamma t}$，左边恰好成为一个全导数：

从 0 积分到 $t$：

这就是朗之万方程的解 (23.5)（$x\to v$，$f\to F/m$）。物理图像：$s$ 时刻的"推动" $f(s)\,ds$ 在之后的时刻 $t$ 只剩下 $e^{-\gamma(t-s)}$ 的比例；$x(t)$ 是过去所有推动的衰减记忆之和。函数 $e^{-\gamma(t-s)}\theta(t-s)$ 称为方程的格林函数（对单位冲击 $\delta(t-s)$ 的响应），它只在 $t>s$ 时不为零——这就是因果性：响应不能先于原因（第24章的响应函数都有这一性质）。

系数随时间变化时（$\dot x = a(t)x + f(t)$），积分因子换成 $e^{-\int a\,dt}$，做法相同。

§A13.5二阶常系数线性方程

试探解 $x = e^{st}$ 给出特征方程 $s^2 + \gamma s + \omega_0^2 = 0$，

线性方程的解可以叠加，通解为 $x = c_+e^{s_+t} + c_-e^{s_-t}$，两个常数由初始位置和速度确定。按判别式的符号分三种情形：

1. 欠阻尼（$\gamma<2\omega_0$）：$s_\pm = -\gamma/2\pm i\omega_1$，$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/4}$。取实部得 $x = Ae^{-\gamma t/2}\cos(\omega_1t + \phi)$：衰减的振荡（§P1.4）。
2. 临界阻尼（$\gamma = 2\omega_0$）：两根重合 $s = -\gamma/2$，只得到一个解 $e^{st}$。第二个解是 $te^{st}$：代入验证，$\frac{d}{dt}(te^{st}) = (1 + st)e^{st}$，$\frac{d^2}{dt^2}(te^{st}) = (2s + s^2t)e^{st}$，代入 (A13.7) 得 $[t(s^2 + \gamma s + \omega_0^2) + (2s + \gamma)]e^{st} = 0$，因为两个括号都为零。（也可以看成两个相近的根 $s_+\to s_-$ 时 $(e^{s_+t} - e^{s_-t})/(s_+ - s_-)\to te^{st}$。）
3. 过阻尼（$\gamma>2\omega_0$）：两个负实根。当 $\gamma\gg\omega_0$ 时，用 $\sqrt{1 - x}\approx1 - x/2$：

快的根 $-\gamma$ 对应速度的弛豫（时间 $1/\gamma$ 后速度"忘记"初值）；慢的根 $-\omega_0^2/\gamma$ 对应位置向平衡点的缓慢爬行。在比 $1/\gamma$ 长的时间尺度上，惯性项 $\ddot x$ 可以略去，方程变为一阶的 $\gamma\dot x = -\omega_0^2x$。乘以质量 $m$，就是 $\zeta\dot x = -\kappa x$（$\zeta = m\gamma$ 为摩擦系数，$\kappa = m\omega_0^2$ 为劲度系数）——这正是 §23.4 中过阻尼朗之万方程 (23.10) 的来源：§23.1 的例子中布朗粒子的 $1/\gamma = m/\zeta$ 只有约 $6\times10^{-8}$ s，比我们关心的时间短得多。

受迫振动。非齐次方程 $\ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x = F(t)/m$ 的通解 = 一个特解 + 齐次方程的通解。齐次部分随时间衰减（暂态），长时间后只剩下特解（稳态）。对 $F = \mathrm{Re}[F_0e^{-i\omega t}]$，试探特解 $\mathrm{Re}[\hat xe^{-i\omega t}]$，得 (P1.12)。对任意的 $F(t)$，把它分解成频率分量（附录 A14），每个分量乘以 $\chi(\omega)$ 后再叠加——线性系统的全部信息都在 $\chi(\omega)$ 中。

§A13.6线性方程组与本征值

$n$ 个变量的线性方程组 $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x$（$A$ 为常数矩阵）用同样的方法处理：试探解 $\mathbf x = \mathbf ve^{\lambda t}$ 给出

这是矩阵的本征值问题（附录 B2）。若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量 $\mathbf v_a$，通解为 $\mathbf x(t) = \sum_ac_a\mathbf v_ae^{\lambda_at}$：每个"本征模"独立地演化。

例 1：简正模（§P1.3）。$M\ddot{\mathbf u} = -K\mathbf u$ 中试探 $\mathbf u = \mathbf ve^{-i\omega t}$，得 $K\mathbf v = M\omega^2\mathbf v$，本征值给出简正频率。

例 2：两态系统的弛豫（§23.6 的主方程）。设系统在态 1、2 之间跳跃，速率分别为 $a$（$1\to2$）与 $b$（$2\to1$）：

矩阵 $\begin{pmatrix}-a & b\\ a & -b\end{pmatrix}$ 的本征值为 $0$ 与 $-(a+b)$。本征值 $0$ 对应定态 $P_1 = \frac{b}{a+b}$，$P_2 = \frac{a}{a+b}$；另一个给出趋向定态的速率。直接求解也很简单：用 $P_2 = 1 - P_1$，$\dot P_1 = -(a+b)P_1 + b$，由 (A13.6)，

弛豫速率是两个方向的速率之和，而不是其中之一。在平衡态，细致平衡 $aP_1 = bP_2$ 给出 $b/a = e^{-\beta(E_1 - E_2)}$（对比 (23.18)）。

§A13.7线性差分方程

离散的方程也可以用指数试探解。一维原子链 (10.6)：$M\ddot u_n = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)$。试探 $u_n = Ar^ne^{-i\omega t}$，得 $-M\omega^2 = K(r + r^{-1} - 2)$。对无限长的链，要求解在 $n\to\pm\infty$ 时都有界，只能 $\lvert r\rvert = 1$，即 $r = e^{ika}$，于是得到 (10.7)。若 $\omega$ 超过 $\omega_{\max}$，$r$ 变成负实数（$\lvert r\rvert\ne1$），对应于空间上指数衰减的振动——这是在能带之外的频率下波不能传播的原因。

一般地，线性递推 $a_{n+1} = c_1a_n + c_0a_{n-1}$ 的通解是 $a_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n$，$r_{1,2}$ 是 $r^2 = c_1r + c_0$ 的两个根。这与 §18.2 中转移矩阵的思想相同：$Z_N = \mathrm{Tr}\,T^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N$，长链的性质由最大的本征值决定。

自测题

1. 用欧拉公式证明 $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$，以及 $\cosh^2x - \sinh^2x = 1$。
2. 求 $\sum_{n=0}^{N-1}\cos(2\pi mn/N)$（$m$ 不是 $N$ 的倍数）。［答：$0$，由 (A13.3) 取实部。］
3. 设 $a(t) = A\cos(\omega t + \phi)$。用 (A13.4) 求 $\overline{a^2}$。［答：$A^2/2$。］
4. 求 $\dot x = -\gamma x + F_0\cos\Omega t$ 的稳态解。［答：$x = \mathrm{Re}\left[\frac{F_0}{\gamma - i\Omega}e^{-i\Omega t}\right] = \frac{F_0}{\sqrt{\gamma^2 + \Omega^2}}\cos(\Omega t - \phi)$，$\tan\phi = \Omega/\gamma$。］
5. 取 $\gamma = 10\omega_0$，求 (A13.7) 的慢根，并与近似 $-\omega_0^2/\gamma$ 比较。［答：$s_+ = (-10 + \sqrt{96})\omega_0/2\approx-0.1010\,\omega_0$，近似值 $-0.1\,\omega_0$。］
6. 一个电感 $L$ 与电阻 $R$ 串联。求 $Z(\omega)$，并说明 $\mathrm{Re}\,Z$ 的意义。［答：$Z = R - i\omega L$；$\mathrm{Re}\,Z = R$ 是耗散部分，由奈奎斯特公式 $S_V = 4k_{\mathrm B}T\,\mathrm{Re}\,Z$（§24.4），只有它产生热噪声。］