重积分与变量替换（极坐标、球坐标、雅可比行列式）

正文用到本节的地方：高斯积分的极坐标算法（§2.3）、$n$ 维球的体积 (2.14)、速度空间的球坐标与麦克斯韦速率分布（§5.4）、各种态密度的计算（§2.5、§10.7、§11.2、§12.3 等）、谐振势阱中的态数（§14.5 的四面体体积）。

§A6.1重积分与累次积分

二重积分 $\iint_Df(x,y)\,dx\,dy$ 的定义是：把区域 $D$ 切成许多小块，把"函数值 × 小块面积"加起来，再让小块无限变小。实际计算时化为累次积分：先固定 $x$ 对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。例如 $D$ 是 $0\le x\le a$、$0\le y\le a - x$ 的三角形：

富比尼定理：若 $f$ 连续且区域有界（或者 $\iint\lvert f\rvert$ 有限），积分次序可以交换。这一条件在物理中几乎总是满足的；需要警惕的只是被积函数可正可负、绝对值积分发散的情形。

可分离的被积函数。若区域是矩形（或整个平面），且 $f(x,y) = g(x)h(y)$，则

这一点在统计力学中无处不在：例如 $\int d^3p\,e^{-\beta p^2/2m} = \left(\int dp_x\,e^{-\beta p_x^2/2m}\right)^3$；独立子系统的配分函数是各子系统配分函数之积（§4.5），其数学根据就是 (A6.1)。

例：单纯形的体积。 由 $x_i\ge0$、$x_1 + \cdots + x_n\le a$ 围成的 $n$ 维区域的体积为

用归纳法：$V_1(a) = a$；对最后一个变量 $x_n = t$ 积分，其余变量构成边长为 $a - t$ 的 $(n-1)$ 维单纯形，所以 $V_n(a) = \int_0^aV_{n-1}(a-t)\,dt = \int_0^a\frac{(a-t)^{n-1}}{(n-1)!}dt = \frac{a^n}{n!}$。$n = 3$ 时就是 §14.5 中四面体的体积 $a^3/6$。

§A6.2变量替换与雅可比行列式

一维：令 $x = x(u)$，则 $\int f(x)\,dx = \int f(x(u))\,\lvert dx/du\rvert\,du$（积分限相应改变；取绝对值是为了让 $du$ 始终从小到大积分）。

二维：设 $x = x(u,v)$，$y = y(u,v)$。$(u,v)$ 平面上边长为 $du$、$dv$ 的小矩形，被映成 $(x,y)$ 平面上由两个向量

张成的小平行四边形（在足够小的范围内映射是线性的，由全微分 (A1.2)）。平行四边形的面积等于以两个边向量为列的行列式的绝对值（附录 B3），所以

这个行列式称为雅可比行列式。$n$ 维时完全一样：$d^nx = \lvert\det(\partial x_i/\partial u_j)\rvert\,d^nu$。

极坐标（$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$）：

所以 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。几何上：极坐标的小块是径向长 $dr$、切向长 $r\,d\theta$ 的近似矩形。柱坐标再乘一个 $dz$：$dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$。

球坐标（$x = r\sin\theta\cos\varphi$，$y = r\sin\theta\sin\varphi$，$z = r\cos\theta$；$0\le\theta\le\pi$，$0\le\varphi<2\pi$）：

几何推导：小块的三条边分别是径向的 $dr$、沿经线的 $r\,d\theta$、沿纬线的 $r\sin\theta\,d\varphi$（纬线圆的半径是 $r\sin\theta$），三者相互垂直。也可以直接计算 $3\times3$ 雅可比行列式（自测题 2）。

线性变换：$\mathbf x = A\mathbf u$ 时雅可比矩阵就是常数矩阵 $A$，$d^nx = \lvert\det A\rvert\,d^nu$。例：$\mathbf p = m\mathbf v$ 给出 $d^3p = m^3d^3v$（§5.4）；两体问题中（两粒子质量相等时的）质心坐标 $\mathbf R = (\mathbf r_1 + \mathbf r_2)/2$ 与相对坐标 $\mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2$，由 $\mathbf r_1 = \mathbf R + \mathbf r/2$、$\mathbf r_2 = \mathbf R - \mathbf r/2$，每个分量的雅可比行列式为 $\det\begin{pmatrix}1&1/2\\1&-1/2\end{pmatrix} = -1$，所以 $d^3r_1\,d^3r_2 = d^3R\,d^3r$。（一般情形 $\mathbf R = (m_1\mathbf r_1 + m_2\mathbf r_2)/(m_1 + m_2)$，雅可比行列式的绝对值仍为 1。）§17.2 计算第二位力系数时把 $(\mathbf r_1,\mathbf r_2)$ 换成 $(\mathbf r_1,\ \mathbf r = \mathbf r_2 - \mathbf r_1)$，雅可比行列式同样是 1。

§A6.3立体角与球对称的积分

球坐标中方向部分的"面积元"$d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ 称为立体角元，全空间的立体角为

若被积函数只依赖于 $r = \lvert\mathbf r\rvert$，方向部分直接积出：

这就是 (5.11) 中 $4\pi v^2\,dv$ 的来源，也是由 $\int d^3p$ 求自由粒子态密度的第一步（§2.5、§11.2）。$n$ 维时，(2.14) 给出半径 $r$ 的球壳体积 $dV_n = nC_nr^{n-1}dr$，所以单位球面的"面积"为

检验：$S_1 = 2\pi$（圆周长），$S_2 = 2\pi^{3/2}/\Gamma(3/2) = 4\pi$（球面积）。

注意：球面上的均匀分布在 $\theta$ 上不均匀。 由于 $d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi = -d(\cos\theta)\,d\varphi$，方向均匀分布意味着 $\cos\theta$ 在 $[-1,1]$ 上均匀分布，而不是 $\theta$ 在 $[0,\pi]$ 上均匀分布。靠近两极（$\theta\approx0,\pi$）的方向很少。在蒙特卡罗模拟中随机选取方向时，要按 $\cos\theta$ 均匀抽样（具体做法见 §C7.5）。

§A6.4角平均

单位向量 $\mathbf n = (\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ 对所有方向的平均定义为 $\langle g\rangle = \frac1{4\pi}\int g\,d\Omega$。

$\langle\cos^2\theta\rangle = 1/3$：直接计算，$\frac{1}{4\pi}\cdot2\pi\int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta = \frac12\int_{-1}^1u^2\,du = \frac13$。更好的论证是对称性：$\langle n_x^2\rangle = \langle n_y^2\rangle = \langle n_z^2\rangle$，而三者之和为 $\langle\lvert\mathbf n\rvert^2\rangle = 1$。同理，$i\ne j$ 时 $\langle n_in_j\rangle = 0$（把 $n_i$ 反号，分布不变，而 $n_in_j$ 变号）。合起来：

用途举例：压强公式中 $\langle v_x^2\rangle = \frac13\langle v^2\rangle$；极性分子的取向极化中 $\langle d_z^2\rangle_0 = d_0^2\langle\cos^2\theta\rangle = d_0^2/3$（§P3.1）；随机取向的偶极之间的平均相互作用（§P3.3）。四次的结果为 $\langle n_in_jn_kn_l\rangle = \frac1{15}(\delta_{ij}\delta_{kl} + \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})$，例如 $\langle n_z^4\rangle = 1/5$。

半球上的平均。泻流（容器壁上的小孔）问题中，单位时间穿过面积 $A$ 的分子数是 $nA\langle v_z\,\Theta(v_z)\rangle$（$\Theta$ 为阶跃函数，只计朝向小孔运动的分子）。在麦克斯韦分布中速率与方向独立，方向部分

所以通量为 $\frac14n\langle v\rangle A$（第5章自测题 2）。同样的角积分给出黑体小孔单位面积的辐射功率 $\frac c4\frac UV$（(15.4)）。

§A6.5高斯积分与 $n$ 维球（回顾）

§2.3 的两个计算都用到本节的内容：(1) 把一维高斯积分平方，变成平面上的积分，用极坐标 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ 算出 $\pi/a$；(2) 用两种方法计算 $\int e^{-r^2}d^nx$——一次用 (A6.1) 拆成 $n$ 个一维积分之积，一次用球壳积分 $\int f(r)\,d^nx = nC_n\int_0^\infty f(r)\,r^{n-1}dr$（$C_n$ 待定）——比较得到 $n$ 维球的体积 (2.14)。

一个检验：麦克斯韦分布的归一化 $\int e^{-av^2}d^3v = (\pi/a)^{3/2}$，用 (A6.5) 计算则是 $4\pi\int_0^\infty v^2e^{-av^2}dv = 4\pi\cdot\frac{\sqrt\pi}{4}a^{-3/2}$（由 (2.9)），两者一致。

§A6.6常见错误

1. 换元后忘记乘雅可比因子（$r$、$r^2\sin\theta$、$m^3$……）。
2. 球坐标中 $\theta$ 的范围是 $[0,\pi]$ 而不是 $[0,2\pi]$；$\varphi$ 的范围才是 $[0,2\pi)$。
3. 把"数格点"换成"算体积"时，只有在格点很密（相关尺度远大于格距）时才可靠（§2.5、§10.3 的态数；低温下的玻色凝聚正是这一近似失效的地方，§14.1）。

自测题

1. 用 $x = ar\cos\theta$、$y = br\sin\theta$ 计算椭圆 $x^2/a^2 + y^2/b^2\le1$ 的面积。［答：雅可比行列式为 $abr$，面积 $\pi ab$。］
2. 直接计算球坐标的 $3\times3$ 雅可比行列式，验证 (A6.4)。［提示：按含 $\cos\theta$ 的第三行展开。］
3. 计算 $\iint e^{-(x^2 + xy + y^2)}\,dx\,dy$。［答：配方 $x^2 + xy + y^2 = (x + y/2)^2 + \frac34y^2$，令 $u = x + y/2$（雅可比行列式为 1），得 $\sqrt\pi\cdot\sqrt{4\pi/3} = 2\pi/\sqrt3$；也可用附录 B2 的公式。］
4. 证明 $\langle n_x^2n_y^2\rangle = 1/15$。［提示：用四次公式，或由 $\langle(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)^2\rangle = 1$ 与 $\langle n_z^4\rangle = 1/5$ 及对称性。］
5. 一维谐振子的 $N$ 个独立副本（经典），总能量不超过 $E$ 的相空间体积是多少？［提示：令 $x_i = p_i/\sqrt{2m}$、$y_i = \sqrt{m/2}\,\omega q_i$，区域变为 $2N$ 维球 $\sum(x_i^2 + y_i^2)\le E$，雅可比因子为 $\prod(2/\omega)$；答：$\left(\frac{2}{\omega}\right)^N\frac{\pi^NE^N}{N!} = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi E}{\omega}\right)^N$。］