重整化群初步（选讲）

§20.1尺度变换的思想

在临界点 $\xi = \infty$，涨落出现在一切尺度上：大的有序区域中套着小的有序区域，小的里面又套着更小的。系统没有特征长度，在统计意义上是自相似的。

卡达诺夫（1966）的想法：把自旋分成边长为 $b$（以晶格常数为单位）的小块，每块用一个"块自旋"代替（例如取块内多数自旋的方向），块自旋之间有某种有效相互作用 $K'$。新的晶格常数是原来的 $b$ 倍，所以以新的晶格常数为单位，关联长度变为 $\xi' = \xi/b$。这样的变换 $K\to K' = R(K)$ 称为重整化变换；它保持配分函数（长波长的物理）不变，只是去掉了短尺度的细节。

反复变换时：若 $\xi$ 有限，它不断缩小，系统流向完全无序（$K\to0$）或完全有序（$K\to\infty$）的平凡状态；若 $\xi = \infty$，变换后仍然是 $\infty$。所以临界点对应于重整化变换的不动点 $K^\ast = R(K^\ast)$。

§20.2一维伊辛模型的抽取变换

零场一维链，$K = \beta J$。对每隔一个的自旋求和（"抽取"），例如对 $s_2$：

右边是剩下的自旋之间的新的近邻耦合。分别取 $s_1 = s_3$ 与 $s_1 = -s_3$：$2\cosh2K = Ae^{K'}$，$2 = Ae^{-K'}$。两式相除得 $e^{2K'} = \cosh2K$，即

（由 $\tanh K' = \frac{e^{2K'} - 1}{e^{2K'} + 1} = \frac{\cosh2K - 1}{\cosh2K + 1} = \frac{2\sinh^2K}{2\cosh^2K}$。）这次变换是严格的：新的链仍然只有近邻相互作用，$b = 2$。

重整化流。因为 $\tanh K<1$，$\tanh K'<\tanh K$：每做一次变换，耦合都变弱，最终流向 $K = 0$（无穷高温）。不动点只有两个：$K^\ast = 0$（稳定，吸引一切有限的 $K$）与 $K^\ast = \infty$（$T = 0$，不稳定）。没有有限温度的不动点，所以没有有限温度的相变——与 §18.2 一致。

检验：由 (18.9)，$\xi(K) = -1/\ln\tanh K$，所以 $\xi(K') = -1/\ln\tanh^2K = \xi(K)/2$：恰好是 $\xi' = \xi/b$。

§20.3二维伊辛模型的近似重整化

在正方晶格上，把格点按国际象棋棋盘那样分成两套，对其中一套（"黑格"）的自旋求和。剩下的"白格"自旋组成一个转过 45° 的正方晶格，晶格常数为原来的 $\sqrt2$ 倍（$b = \sqrt2$）。被求和的自旋 $s_0$ 有 4 个近邻 $s_1,s_2,s_3,s_4$（按顺序绕一圈）：

右边是能够写出的最一般的对称形式。比较四种情形：(i) 四个自旋相同：$\ln(2\cosh4K) = \ln A + 4a' + 2c' + d'$；(ii) 三同一异：$\ln(2\cosh2K) = \ln A - d'$；(iii) 两两相邻同号（如 $++--$）：$\ln2 = \ln A - 2c' + d'$；(iv) 交错（$+-+-$）：$\ln2 = \ln A - 4a' + 2c' + d'$。由 (iii)、(iv) 得 $a' = c'$；(i) 减 (iv) 得 $8a' = \ln\cosh4K$；(ii)、(iii) 给出 $d' = c' - \frac12\ln\cosh2K$：

在新的晶格中，每一对近邻（如 $s_1$、$s_2$）同时与两个被求和的自旋相邻，所以新的近邻耦合为 $K_1 = 2a' = \frac14\ln\cosh4K$；次近邻耦合（如 $s_1$、$s_3$）为 $K_2 = c' = \frac18\ln\cosh4K$；此外还出现了四自旋耦合 $K_3 = d'$。变换后的哈密顿量比原来的复杂——这是重整化变换的普遍特点：耦合常数的空间不断扩大。

近似。略去四自旋耦合，并把次近邻耦合并入近邻耦合（在有序态中两者都使自旋平行，每个自旋有 4 个近邻与 4 个次近邻，贡献相近）：

不动点。数值求解 $K^\ast = \frac38\ln\cosh4K^\ast$，得 $K^\ast\approx0.507$，即 $k_{\mathrm B}T_{\mathrm c}/J\approx1.97$（严格值 2.269）。$K<K^\ast$ 时流向 $K = 0$（无序相），$K>K^\ast$ 时流向 $K = \infty$（有序相）：近似的变换正确地给出了有限温度的相变。

临界指数。在不动点附近线性化：$\delta K' = \lambda\,\delta K$，$\lambda = \left.\frac{dK'}{dK}\right\rvert_{K^\ast} = \frac32\tanh4K^\ast\approx1.449>1$（偏离不动点的扰动被放大）。设 $\xi = C\lvert K - K^\ast\rvert^{-\nu}$。由 $\xi(K) = b\,\xi(K')$：$C\lvert\delta K\rvert^{-\nu} = bC\lvert\lambda\delta K\rvert^{-\nu}$，即 $\lambda^\nu = b$：

严格值是 $\nu = 1$。一个如此粗糙的近似给出了相当接近的结果，而且它的思路可以系统地改进（保留更多耦合）。

§20.4不动点、相关变量与普适性

一般地，把所有耦合常数写成一个矢量 $\mathbf K = (K_1,K_2,\dots)$，重整化变换为 $\mathbf K' = R(\mathbf K)$。在不动点 $\mathbf K^\ast$ 附近线性化：$\delta K_a' = \sum_bM_{ab}\delta K_b$。把 $\delta\mathbf K$ 按矩阵 $M$ 的本征矢量展开，各分量（称为标度场 $u_i$）在每次变换中独立地乘以本征值 $\lambda_i = b^{y_i}$：$u_i' = b^{y_i}u_i$。

• $y_i>0$：相关变量，变换中被放大。要到达临界点，必须把它们精确地调为零。伊辛模型有两个：温度 $t$ 与磁场 $h$。
• $y_i<0$：无关变量，变换中逐渐消失。次近邻耦合、晶格结构、流体中缺少的粒子–空穴对称性等微观细节都属于这一类。
• $y_i = 0$：边缘变量，通常导致对数修正。

普适性的来源：微观上不同的系统，只要它们的重整化流趋向同一个不动点，长距离的行为就由这个不动点的相关本征值决定，与那些逐渐消失的无关变量无关。于是它们有相同的临界指数。

标度律的推导。变换后自旋数减少为 $1/b^d$，而总自由能不变，所以每个自旋的自由能奇异部分满足

$b$ 是任意的，取 $b = \lvert t\rvert^{-1/y_t}$，得 $f_{\mathrm s} = \lvert t\rvert^{d/y_t}f_{\mathrm s}(\pm1,\ h/\lvert t\rvert^{y_h/y_t})$——这正是维多姆形式 (19.21)，其中 $2 - \alpha = d/y_t$，$\Delta = y_h/y_t$。又由 $\xi' = \xi/b$ 与 $t' = b^{y_t}t$ 得 $\nu = 1/y_t$，于是 $2 - \alpha = d\nu$：超标度关系 (19.24) 被推导出来了。进一步，$m = -\partial f_{\mathrm s}/\partial h\propto\lvert t\rvert^{(d - y_h)/y_t}$，所以 $\beta = (d - y_h)/y_t$；同理 $\gamma = (2y_h - d)/y_t$，$\delta = y_h/(d - y_h)$。所有临界指数都由两个数 $y_t$、$y_h$ 决定。

§20.5威尔逊–费希尔不动点与 ε 展开

威尔逊（1971）在动量空间中对金兹堡–朗道泛函 (19.10) 实施重整化：把波矢在 $\Lambda/b<k<\Lambda$ 范围内的涨落积分掉，再把长度与场重新标度。

为什么 4 维是特殊的（量纲分析）。为避免与尺度因子 $b$ 混淆，这里把 (19.10) 中四次项的系数记为 $u$。在临界点 $a = 0$。把长度放大 $b$ 倍 $\mathbf r = b\mathbf r'$，要求梯度项 $\int d^dr\,g\lvert\nabla m\rvert^2$ 的形式不变：它按 $b^{d-2}m^2$ 变化，所以场必须按 $m = b^{(2-d)/2}m'$ 重新标度。于是四次项 $\int d^dr\,u\,m^4$ 按 $b^d\cdot b^{2(2-d)} = b^{4-d}$ 变化：

$d>4$ 时四次项是无关的：长距离行为由 $u = 0$ 的"高斯不动点"决定，平均场指数是严格的。$d<4$ 时四次项是相关的，流向一个新的不动点（威尔逊–费希尔不动点），它的位置正比于 $\varepsilon = 4 - d$。这与金兹堡判据 (19.19) 得到的上临界维数完全一致。

对三维伊辛模型（$n = 1$，$\varepsilon = 1$），一阶结果 $\nu\approx0.583$，$\eta\approx0.019$；计算到高阶并作适当的重求和后得到 $\nu = 0.630$。2010 年代发展起来的共形自举方法给出 $\nu = 0.629971(4)$，是目前最精确的结果之一。

§20.6本章小结

1. 临界点是重整化变换的不动点；偏离不动点的相关方向决定临界指数，$\nu = \ln b/\ln\lambda$。
2. 一维伊辛模型的抽取变换是严格的，它只有 $T = 0$ 与 $T = \infty$ 两个不动点；二维的近似变换给出有限的 $T_{\mathrm c}$ 与 $\nu\approx0.94$。
3. 无关变量在变换中消失，这是普适性的来源；自由能的标度关系 (20.5) 推出了维多姆标度与超标度。
4. 四次项的标度维数为 $4 - d$：$d>4$ 时平均场严格，$d<4$ 时流向威尔逊–费希尔不动点。

自测题

1. 验证 (20.1) 中的 $A = 2\sqrt{\cosh2K}$，并由此写出每个自旋的自由能满足的递推关系。［答：$-\beta f(K) = \frac12\ln A + \frac12[-\beta f(K')]$］
2. 数值求解 (20.3) 的不动点并计算 $\nu$。
3. 二维伊辛模型的严格值为 $y_t = 1$、$y_h = 15/8$。用 §20.4 的公式求 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$，并与表 §19.6 比较。［答：0、1/8、7/4、15］