全书大纲

全书各章与数学附录均已写出。第二至五部分的最后一章都是"该部分的理论解决了哪些问题"。

第一部分　预备知识（已完成）

• 第1章　热力学要点回顾
• 预备章 P1　经典力学要点
• 预备章 P2　量子力学要点
• 预备章 P3　电磁学与物质的电、磁性质要点
• 预备章 P4　相平衡与相变的热力学
• 预备章 P5　输运现象与不可逆过程热力学初步
• 第一部分结语：第二至五部分之间的关联（简明版）

第二部分　统计热力学（平衡态统计力学基础）（已完成）

• 第2章　统计描述的基础：微观态、宏观态与数学工具
• 第3章　微正则系综：熵的统计诠释
• 第4章　正则系综：配分函数
• 第5章　近独立粒子系统：玻尔兹曼分布与经典统计
• 第6章　定域系统：两能级系统、顺磁性与固体热容
• 第7章　理想气体的统计热力学：分子配分函数与化学平衡
• 第8章　巨正则系综
• 第9章　统计热力学解决了哪些问题

第三部分　量子统计（已完成）

• 第10章　固体物理基础（一）：晶体结构与晶格振动
• 第11章　固体物理基础（二）：晶体中的电子
• 第12章　全同粒子与量子统计分布
• 第13章　理想费米气体
• 第14章　理想玻色气体与玻色–爱因斯坦凝聚——凝聚温度、凝聚相的热力学、热容的尖峰；液氦-4 的超流（λ 相变）与冷原子气体中的凝聚
• 第15章　光子气体与声子气体——普朗克公式、斯特藩–玻尔兹曼定律与维恩位移定律、宇宙微波背景辐射；德拜模型与 $T^3$ 定律
• 第16章　量子统计解决了哪些问题——黑体辐射与紫外灾难；固体的低温热容（德拜 $T^3$ 律）；金属的电子热容与维德曼–弗兰兹定律；泡利顺磁性；氢分子的正、仲态与低温比热；半导体的载流子统计；白矮星的稳定性与钱德拉塞卡极限；液氦超流与玻色–爱因斯坦凝聚；经典统计与第三定律的矛盾、吉布斯佯谬的最终解决

第四部分　相互作用系统与相变（已完成）

• 第17章　实际气体：位力展开与范德瓦尔斯方程
• 第18章　伊辛模型与平均场理论
• 第19章　朗道相变理论与临界现象
• 第20章　重整化群初步（选讲）
• 第21章　相变理论解决了哪些问题——液–气临界点与气液连续性（安德鲁斯的 $\mathrm{CO_2}$ 实验、范德瓦尔斯方程）；对应态原理；铁磁性与居里–外斯定律（外斯分子场）；统计力学能否描述相变（昂萨格的二维伊辛模型精确解）；临界指数的普适性与平均场理论的失败；临界乳光；标度律与重整化群（威尔逊）；超导与超流的唯象描述（金兹堡–朗道理论）

第五部分　涨落与非平衡统计物理（已完成）

• 第22章　涨落理论
• 第23章　布朗运动：朗之万方程与福克–普朗克方程
• 第24章　线性响应与涨落–耗散定理
• 第25章　玻尔兹曼输运方程与 H 定理
• 第26章　非平衡统计物理解决了哪些问题——布朗运动与原子的真实性；电路热噪声（约翰逊–奈奎斯特）；气体输运系数的计算与检验；不可逆性的微观来源（围绕 H 定理的争论）；昂萨格倒易关系与热电效应；涨落–耗散定理——各种谱线线形与弛豫测量的理论基础；化学反应速率与越过势垒（克拉默斯理论）

第六部分　选讲专题与总结（已完成）

• 第27章　历史专题（一）：统计热力学是怎样建立起来的
• 第28章　历史专题（二）：量子统计的建立（1859–1995）
• 第29章　历史专题（三）：相变与非平衡理论的发展
• 第30章　随机行走与高分子链统计——§2.2 的二项分布就是一维随机行走，§6.3 的熵弹性就是一维自由连接链；本章推广到三维的高斯链与橡胶弹性，再加入排除体积（弗洛里理论，一种平均场理论），并与扩散（第23章）、标度与临界指数（第19章）相联系
• 第31章　成核与生长的统计理论——一级相变（§P4.3、第四部分）要靠稀有的涨落越过自由能势垒（§P4.5）才能发生：临界核的数目由玻尔兹曼因子 $e^{-\Delta G^\ast/k_{\mathrm B}T}$ 决定（第二部分），成核速率则需要第五部分的速率理论
• 第32章　计算统计物理：蒙特卡罗方法与分子动力学——前者对第4章的正则分布做随机采样（依赖第五部分的细致平衡），后者直接积分第2章的哈密顿方程（依赖 §2.7 的各态历经假设）；二者是研究第四部分的相变与第五部分的输运系数的主要数值工具
• 第33章　总结：各部分的关联、理论的现状与前沿
  • 33.1 回顾：一个框架与三次推广（量子统计、相互作用、非平衡）
  • 33.2 各部分之间的继承、相互影响与冲突（第一部分结语的详细版）
  • 33.3 这些理论现在还在发展吗：各部分的现状
  • 33.4 研究热点：随机热力学与涨落定理、活性物质、孤立量子系统的热化（本征态热化假说、多体局域化）、冷原子与量子模拟、玻璃与无序系统、生命系统中的统计物理、机器学习与统计物理
  • 33.5 理论前沿：非平衡相变与普适类、量子相变与量子临界、拓扑相、纠缠熵、大偏差理论
  • 33.6 尚未解决的问题：热化与遍历性的严格基础、玻璃化转变的本质、湍流的统计理论、三维伊辛模型的精确解、远离平衡态是否存在普遍的变分原理、高温超导的机制、时间箭头与宇宙的初始条件
  • 33.7 进一步阅读
  • 33.8 结语

附录　数学要点（已完成；编号与正文的【数学提示】一一对应）

• 附录 A　微积分要点：A1 多元函数、偏导数与链式法则；A2 全微分、恰当微分与混合偏导数相等；A3 泰勒展开（一元与多元）；A4 偏导数恒等式：倒数关系、循环关系、换固定变量；A5 勒让德变换；A6 重积分与变量替换（极坐标、球坐标、雅可比行列式）；A7 含参变量积分：积分号下求导；A8 条件极值与拉格朗日乘子法；A9 齐次函数与欧拉定理；A10 级数：几何级数、指数与对数展开、用积分近似求和；A11 矢量分析：梯度、散度、旋度与连续性方程；A12 变分法初步；A13 复数、复指数与常系数线性常微分方程；A14 傅里叶级数、傅里叶变换与 δ 函数；A15 偏微分方程初步（扩散方程、波动方程）
• 附录 B　线性代数要点：B1 向量、内积与二次型；B2 实对称矩阵的正交对角化；B3 行列式与线性变换的体积因子；B4 复向量空间、厄米算符与狄拉克记号
• 附录 C　概率与统计要点：C1 随机变量与概率分布（离散与连续）；C2 期望、方差与矩；詹森不等式；C3 联合分布、边缘分布与独立性；C4 排列组合与二项分布；C5 高斯（正态）分布；C6 大数定律与中心极限定理；C7 随机变量的变换（概率密度的变换）；C8 泊松分布；C9 随机过程：平稳过程、马尔可夫过程、关联函数与功率谱