含参变量积分：积分号下求导

正文最早在 §2.3 用到本节：对高斯积分 $\int e^{-ax^2}dx$ 关于参数 $a$ 求导，得到各阶矩 (2.4)。同样的想法——"对参数求导，把一个已知的积分（或求和）变成新的积分"——以 $\partial\ln Z/\partial\beta$ 的形式贯穿整个统计力学。

§A7.1基本公式

设 $F(a) = \int_A^Bf(x,a)\,dx$，积分限与 $a$ 无关。在适当条件下

直观：积分是求和的极限，"和的导数等于导数的和"。

为什么成立（有限区间）。由微分中值定理，

（$\vartheta$ 可以依赖于 $x$。）若 $\partial f/\partial a$ 在 $[A,B]\times[a-\delta,a+\delta]$ 上连续，它在这个闭区域上一致连续：只要 $\lvert h\rvert$ 足够小，就对一切 $x$ 有 $\lvert\partial_af(x,a+\vartheta h) - \partial_af(x,a)\rvert<\epsilon$。于是上式与 $\int\partial_af(x,a)\,dx$ 之差不超过 $(B-A)\epsilon$，令 $h\to0$ 即得 (A7.1)。

无穷区间。区间无限时还需要一个条件，保证"尾巴"不出问题。一个方便的充分条件是：存在与 $a$ 无关的可积函数 $g(x)$（$\int g\,dx<\infty$），使得对 $a$ 附近的一切参数值都有 $\lvert\partial f/\partial a\rvert\le g(x)$（称为控制函数；正文 §2.3 所说的"积分一致收敛"就是这类条件）。例如高斯积分：当 $a\ge a_0>0$ 时 $\lvert\partial_ae^{-ax^2}\rvert = x^2e^{-ax^2}\le x^2e^{-a_0x^2}$，后者可积，所以可以放心求导。

§A7.2积分限也依赖于参数：莱布尼茨公式

推导：把积分看成三个量的函数 $G(\alpha,\beta,a) = \int_\alpha^\beta f(x,a)\,dx$。由微积分基本定理，$\partial G/\partial\beta = f(\beta,a)$，$\partial G/\partial\alpha = -f(\alpha,a)$；对 $a$ 的显式依赖由 (A7.1) 给出。再用链式法则 (A1.3)。

例：验证朗之万方程的解。 (23.5) 写出了 $m\,dv/dt = -\zeta v + F(t)$ 的解 $v(t) = v_0e^{-\gamma t} + \frac1m\int_0^te^{-\gamma(t-s)}F(s)\,ds$（$\gamma = \zeta/m$）。用 (A7.2) 对 $t$ 求导：上限的贡献是被积函数在 $s = t$ 处的值 $F(t)/m$；对被积函数中 $t$ 的显式依赖求导给出 $-\gamma\times$（积分本身）。所以

正是原方程。这种"卷积形式"的解在线性响应理论（第24章）中反复出现；它的来历见附录 A13。

§A7.3例：高斯积分的各阶矩

从 $I(a) = \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt\pi\,a^{-1/2}$ 出发，每对 $a$ 求一次导就把被积函数乘以 $-x^2$：

其中 $(2n-1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$。$n = 1,2$ 就是 (2.4)。对均值为零、方差为 $\sigma^2$ 的高斯分布（$a = 1/(2\sigma^2)$），把 (A7.3) 除以归一化积分 $I(a)$，得

同样地，由 $\int_0^\infty e^{-ax}dx = 1/a$ 求 $n$ 次导得 $\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx = n!/a^{n+1}$，与 (2.8) 一致。

加一个线性项。由配方 $-ax^2 + bx = -a(x - \frac{b}{2a})^2 + \frac{b^2}{4a}$ 与平移不变性，

对 $b$ 求导一次、两次，分别得到 $\int xe^{-ax^2+bx}dx$ 与 $\int x^2e^{-ax^2+bx}dx$；在 $b = 0$ 处取值又回到 (A7.3)。把 $b$ 取成虚数 $ik$，(A7.5) 就给出高斯函数的傅里叶变换（附录 A14）。

§A7.4统计力学中的同一技巧：对 $\beta$、对外场求导

配分函数 $Z(\beta) = \sum_ie^{-\beta E_i}$ 是一个含参数 $\beta$ 的和（经典情形是含参数的相空间积分）。对 $\beta$ 求导把每一项乘以 $-E_i$：

（第二式见 §4.4。）同样，若哈密顿量中含有与外场 $h$ 耦合的项 $-hM$，则 $Z(\beta,h) = \sum_ie^{-\beta(E_i - hM_i)}$，

即响应函数（磁化率）等于涨落——这是涨落–耗散关系的最简单形式（第22、24章）。在哈密顿量中加一个"源"项，然后对它求导，是统计物理中生成平均值与关联函数的标准方法；$\ln Z$ 因此也被称为"累积量生成函数"（附录 C2）。

引入参数来计算积分。有时一个积分本身不含参数，可以人为引入参数，求导后积分变得简单，再积回来。例：

求导消去了分母：$J'(a) = -\int_0^\infty e^{-ax}\sin x\,dx = -\frac{1}{1+a^2}$（最后一步可以用 $\sin x = \mathrm{Im}\,e^{ix}$ 计算，见附录 A13）。又 $a\to\infty$ 时 $J\to0$，所以

（$J(0)$ 是取 $a\to0^+$ 的极限。）这个积分在附录 A14 中用来证明 δ 函数的一种表示。

§A7.5什么时候不能交换

例：$F(a) = \int_0^\infty\frac{\sin ax}{x}\,dx$。令 $y = ax$ 可知 $a>0$ 时 $F(a) = \pi/2$，$a<0$ 时 $F(a) = -\pi/2$，所以 $a\ne0$ 时 $F'(a) = 0$。但如果盲目地在积分号下求导，得到 $\int_0^\infty\cos ax\,dx$——这个积分根本不收敛。原因是 $\partial_a(\sin ax/x) = \cos ax$ 在 $x\to\infty$ 时不衰减，找不到控制函数。被积函数在无穷远处衰减得不够快时，交换求导与积分可能出错。 物理中的积分大多带有 $e^{-\beta E}$ 之类的指数衰减因子，因而是安全的。

级数的逐项求导。求和与积分一样：对 $\lvert r\rvert<1$，由 $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$ 逐项求导得

（幂级数在收敛半径以内可以逐项求导，附录 A10。）应用：量子谐振子处于第 $n$ 激发态的概率为 $P_n = (1-x)x^n$（$x = e^{-\beta\hbar\omega}$），平均激发数为 $\langle n\rangle = (1-x)\sum_nnx^n = \frac{x}{1-x} = \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}$——这就是 §6.4 的结果，也是玻色–爱因斯坦分布的雏形（第12章）。等价地，它就是 $-\frac{1}{\hbar\omega}\frac{\partial\ln q}{\partial\beta}$（$q = \frac{1}{1-x}$，不计零点能），与 (A7.6) 一致。

自测题

1. 由 $\int_0^\infty xe^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}$ 证明 $\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-ax^2}dx = \frac{n!}{2a^{n+1}}$。
2. 由 (A7.5) 求 $\int_{-\infty}^\infty x\,e^{-ax^2+bx}dx$。［答：$\frac{b}{2a}\sqrt{\frac\pi a}\,e^{b^2/4a}$。］
3. 证明 $x(t) = \int_0^te^{-\gamma(t-s)}f(s)\,ds$ 满足 $\dot x = -\gamma x + f(t)$，$x(0) = 0$。
4. 证明能量的三阶中心矩 $\langle(E - \langle E\rangle)^3\rangle = -\partial^3\ln Z/\partial\beta^3$。［提示：对 (A7.6) 的第二式再求一次导。］
5. 计算 $I(a) = \int_0^1\frac{x^a - 1}{\ln x}\,dx$（$a>-1$）。［答：$I'(a) = \int_0^1x^a\,dx = \frac{1}{a+1}$，$I(0) = 0$，故 $I(a) = \ln(1+a)$。］