实对称矩阵的正交对角化

这是全书最常用的线性代数结果。正文用到它的地方：简正模（§P1.3、§6.5、§10.4）；转动惯量的主轴（§P1.5）；近自由电子模型中的能隙（§11.4）；一维伊辛模型的转移矩阵（§18.2）；多元高斯涨落（§22.1）。它们的共同点是：把一个"各分量互相耦合"的问题，换到一组新坐标中，变成"各分量互不相干"的问题。

§B2.1本征值与本征向量

若非零向量 $\mathbf v$ 满足

则称 $\mathbf v$ 为矩阵 $A$ 的本征向量，$\lambda$ 为相应的本征值。几何意义：$A$ 作用在 $\mathbf v$ 上，只是把它沿所在的直线伸缩 $\lambda$ 倍（$\lambda<0$ 时还反向），而不把它转到别的方向。

(B2.1) 即 $(A - \lambda I)\mathbf v = 0$。它有非零解的充要条件是

（附录 B3：齐次线性方程组有非零解当且仅当系数行列式为零。）(B2.2) 是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式方程，称为特征方程，有 $n$ 个根（可能是复数、可能重复）。求出 $\lambda$ 后，再解 $(A - \lambda I)\mathbf v = 0$ 得到本征向量（只确定到一个常数因子，通常归一化为单位长度）。

$2\times2$ 的情形。对 $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，(B2.2) 为 $(a - \lambda)(d - \lambda) - bc = 0$，

两个有用的检验：$\lambda_+ + \lambda_- = a + d = \mathrm{Tr}\,A$（迹），$\lambda_+\lambda_- = ad - bc = \det A$。（一般地，本征值之和等于迹，之积等于行列式。）

例：$A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。$\lambda = 2\pm1$，即 $3$ 与 $1$。$\lambda = 3$：$(A - 3I)\mathbf v = 0$ 给出 $-v_1 + v_2 = 0$，$\mathbf v = (1,1)/\sqrt2$；$\lambda = 1$：$\mathbf v = (1,-1)/\sqrt2$。两个本征向量正交——这不是巧合。

§B2.2实对称矩阵：本征值为实数，本征向量相互正交

设 $A$ 是实对称矩阵（$A^{\mathsf T} = A$，元素为实数）。

(i) 本征值都是实数。设 $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$，$\mathbf v$ 可能是复向量。左乘 $\mathbf v^{\ast\mathsf T}$（共轭转置）：$\mathbf v^{\ast\mathsf T}A\mathbf v = \lambda\,\mathbf v^{\ast\mathsf T}\mathbf v$。右边的 $\mathbf v^{\ast\mathsf T}\mathbf v = \sum_i\lvert v_i\rvert^2>0$ 是实数。左边也是实数：它的共轭等于 $\mathbf v^{\mathsf T}A\mathbf v^\ast$（$A$ 是实矩阵），这是一个数，等于它自己的转置 $\mathbf v^{\ast\mathsf T}A^{\mathsf T}\mathbf v = \mathbf v^{\ast\mathsf T}A\mathbf v$。所以 $\lambda$ 是实数，相应的本征向量也可以取为实向量。

(ii) 不同本征值的本征向量相互正交。设 $A\mathbf v_1 = \lambda_1\mathbf v_1$，$A\mathbf v_2 = \lambda_2\mathbf v_2$，$\lambda_1\ne\lambda_2$。计算 $\mathbf v_2^{\mathsf T}A\mathbf v_1$ 的两种方法：直接用第一式得 $\lambda_1\,\mathbf v_2\cdot\mathbf v_1$；先把 $A$ 作用到左边（$\mathbf v_2^{\mathsf T}A = (A^{\mathsf T}\mathbf v_2)^{\mathsf T} = (A\mathbf v_2)^{\mathsf T}$）得 $\lambda_2\,\mathbf v_2\cdot\mathbf v_1$。相减：$(\lambda_1 - \lambda_2)\,\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2 = 0$，所以 $\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2 = 0$。

简并的情形：若某个本征值有多个线性无关的本征向量（简并），它们张成一个子空间，其中任意向量都是本征向量；可以在这个子空间中选一组相互正交的基（格拉姆–施密特正交化：逐个减去在已选向量上的投影，再归一化）。

§B2.3谱定理：正交对角化

定理：实对称矩阵 $A$ 有 $n$ 个相互正交的单位本征向量 $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n$。以它们为列组成矩阵 $O = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$，则

证明思路（归纳法）。由 (i)，特征方程至少有一个实根 $\lambda_1$，取单位本征向量 $\mathbf v_1$。考虑与 $\mathbf v_1$ 正交的 $(n-1)$ 维子空间 $W$。$A$ 把 $W$ 映到自身：若 $\mathbf w\perp\mathbf v_1$，则 $\mathbf v_1\cdot A\mathbf w = (A\mathbf v_1)\cdot\mathbf w = \lambda_1\mathbf v_1\cdot\mathbf w = 0$。在 $W$ 中 $A$ 仍是对称的，对它重复同样的论证，得到 $\mathbf v_2\in W$……如此进行 $n$ 次。最后，$A\mathbf v_a = \lambda_a\mathbf v_a$ 合起来写成 $AO = O\Lambda$；各列正交归一即 $O^{\mathsf T}O = I$，所以 $O^{-1} = O^{\mathsf T}$，$A = O\Lambda O^{\mathsf T}$。$\square$

正交矩阵。满足 $O^{\mathsf T}O = I$ 的矩阵称为正交矩阵。它保持长度与夹角：$(O\mathbf x)\cdot(O\mathbf y) = \mathbf x^{\mathsf T}O^{\mathsf T}O\mathbf y = \mathbf x\cdot\mathbf y$。几何上它是一个转动（可能附加一个反射），$\det O = \pm1$（附录 B3）。所以 (B2.4) 的含义是：换到以本征向量为坐标轴的（转动后的）坐标系中，$A$ 变成对角矩阵。

(B2.4) 也可以写成谱分解：

其中 $\mathbf v_a\mathbf v_a^{\mathsf T}$ 是向 $\mathbf v_a$ 方向投影的矩阵。

§B2.4二次型的主轴化与正定性判据

对二次型 $Q = \mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x$，令 $\mathbf y = O^{\mathsf T}\mathbf x$（即 $\mathbf x = O\mathbf y$）：

交叉项全部消失。由此立即得到：$A$ 正定 ⟺ 所有本征值 $\lambda_a>0$；半正定 ⟺ 所有 $\lambda_a\ge0$。二维中 $Q = 1$ 是一个椭圆，主轴沿本征向量方向，半轴长 $1/\sqrt{\lambda_a}$——"主轴化"的名称由此而来。$2\times2$ 时，由迹与行列式：两个本征值都为正 ⟺ $\det A>0$ 且 $A_{11}>0$（与 §A3.5 的极值判据相同）。

例 1：简正模（§P1.3、§6.5）。$N$ 个原子在平衡位置附近做小振动，取质量加权坐标 $w_i = \sqrt{m_i}u_i$，则

$D$ 是实对称矩阵。令 $\mathbf Q = O^{\mathsf T}\mathbf w$：势能变为 $\frac12\sum_a\lambda_aQ_a^2$，而动能 $\frac12\sum\dot w_i^2 = \frac12\lvert\dot{\mathbf w}\rvert^2 = \frac12\lvert\dot{\mathbf Q}\rvert^2$ 因为 $O$ 保持长度而形式不变。于是 $\mathcal H = \sum_a\left(\frac12\dot Q_a^2 + \frac12\lambda_aQ_a^2\right)$：$3N$ 个独立的谐振子，频率 $\omega_a = \sqrt{\lambda_a}$。（这就是为什么要先做质量加权：只有动能是"单位矩阵"时，正交变换才能同时保持动能的形式。）稳定平衡要求 $D$ 半正定，所有 $\omega_a^2\ge0$。

例 2：转动惯量张量的主轴（§P1.5）。$I$ 是实对称矩阵，在主轴坐标系中 $I = \mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)$，转动动能 $\frac12\sum_aI_a\omega_a^2$。

例 3：能级排斥（§11.4）。$H = \begin{pmatrix}\varepsilon_1 & U\\ U & \varepsilon_2\end{pmatrix}$，由 (B2.3)：

两个本征值之差至少为 $2\lvert U\rvert$：只要耦合 $U\ne0$，两条能级（作为某个参数的函数）就不会相交，而是在 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2$ 处"排斥"开，留下一个宽 $2\lvert U\rvert$ 的能隙——这就是布里渊区边界处能隙的来源 (11.8)。在 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2$ 处本征向量是 $(1,\pm1)/\sqrt2$：两个平面波的等量叠加，即驻波。

§B2.5多元高斯积分

设 $A$ 是 $n\times n$ 实对称正定矩阵。则

证明：换元 $\mathbf x = O\mathbf y$，雅可比行列式 $\lvert\det O\rvert = 1$（附录 A6、B3）。由 (B2.6)，被积函数变成 $\prod_ae^{-\lambda_ay_a^2/2}$，积分分解为 $n$ 个一维高斯积分之积 (A6.1)，每个等于 $\sqrt{2\pi/\lambda_a}$（由 (2.3)）。最后 $\prod_a\lambda_a = \det\Lambda = \det A$（附录 B3）。$\square$

加一个线性项。对 $\int e^{-\frac12\mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x + \mathbf b^{\mathsf T}\mathbf x}d^nx$，配方：令 $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b + \mathbf z$，则 $-\frac12\mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x + \mathbf b^{\mathsf T}\mathbf x = -\frac12\mathbf z^{\mathsf T}A\mathbf z + \frac12\mathbf b^{\mathsf T}A^{-1}\mathbf b$（交叉项相消，用了 $A$ 对称），平移不改变积分，所以

这是 (A7.5) 的多元版本。

协方差矩阵。以 $p(\mathbf x)\propto e^{-\frac12\mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x}$ 为概率密度，把 (B2.8) 除以 $\mathbf b = 0$ 时的值，得 $\langle e^{\mathbf b^{\mathsf T}\mathbf x}\rangle = e^{\frac12\mathbf b^{\mathsf T}A^{-1}\mathbf b}$。对 $b_i$、$b_j$ 各求一次导再令 $\mathbf b = 0$（附录 A7 的技巧）：

二次型的矩阵的逆，就是协方差矩阵。 §22.1 中多变量涨落 $P\propto\exp[-\delta\mathbf x^{\mathsf T}A\,\delta\mathbf x/(2k_{\mathrm B})]$ 给出 $\langle\delta\mathbf x\,\delta\mathbf x^{\mathsf T}\rangle = k_{\mathrm B}A^{-1}$，就是 (B2.9)（把 $A$ 换成 $A/k_{\mathrm B}$）。在本征坐标中这一点一目了然：$y_a$ 相互独立，$\langle y_ay_b\rangle = \delta_{ab}/\lambda_a$——"硬"的方向（$\lambda_a$ 大）涨落小，"软"的方向涨落大；临界点处某个 $\lambda_a\to0$，相应的涨落发散。

§B2.6矩阵的函数与转移矩阵

由 (B2.4)，$A^2 = O\Lambda O^{\mathsf T}O\Lambda O^{\mathsf T} = O\Lambda^2O^{\mathsf T}$，一般地 $A^N = O\Lambda^NO^{\mathsf T}$。对任何可以展开成幂级数的函数，

例如 $e^{At} = O\,\mathrm{diag}(e^{\lambda_at})\,O^{\mathsf T}$ 就是线性方程组 $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x$ 的解算子（§A13.6）。

转移矩阵（§18.2）。一维伊辛模型的配分函数 $Z = \mathrm{Tr}\,T^N$，$T$ 是 $2\times2$ 实对称矩阵。由 (B2.10) 与迹的循环性质（$\mathrm{Tr}\,ABC = \mathrm{Tr}\,CAB$，附录 B4）：

$N\to\infty$ 时只有最大本征值重要：$\ln Z\approx N\ln\lambda_+$，修正为 $(\lambda_-/\lambda_+)^N$，指数地小。（连通）关联函数则由两个本征值之比决定，$\langle s_is_{i+r}\rangle - m^2\propto(\lambda_-/\lambda_+)^r$，所以关联长度 $\xi = 1/\ln(\lambda_+/\lambda_-)$；零场时 $\lambda_\pm = 2\cosh\beta J,\ 2\sinh\beta J$，比值为 $\tanh\beta J$，正是 (18.9)。热力学由最大本征值决定，关联长度由最大的两个本征值之比决定——只要最大本征值不简并，这一结论对转移矩阵方法普遍成立。

§B2.7平移不变性与平面波：循环矩阵

若矩阵元只依赖于指标之差，$A_{nm} = c(n - m)$（指标按周期性边界条件理解，即模 $N$），则称 $A$ 为循环矩阵。它描述"环上的平移不变的耦合"。平面波总是它的本征向量：令 $(\mathbf v_k)_n = e^{ikna}$（$k = 2\pi m/(Na)$），

（令 $l = n - m$。）所以本征值为 $\lambda(k) = \sum_lc(l)e^{-ikla}$——耦合函数的傅里叶变换。这就是 §10.4 的论证：一维链的动力学矩阵 $D(0) = 2K/M$，$D(\pm1) = -K/M$，本征值 $\omega^2(k) = \frac{2K}{M} - \frac KM(e^{ika} + e^{-ika}) = \frac{4K}{M}\sin^2\frac{ka}{2}$，即 (10.7)。平移对称性决定了本征向量（平面波），具体的相互作用只决定本征值（色散关系）。在三维晶格中，同样的道理给出布洛赫定理（§11.3）：周期势中的本征态可以按平移的本征值 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R}$ 分类。

对实对称的循环矩阵（$c(l) = c(-l)$ 为实数），$\lambda(k) = \lambda(-k)$ 是实数，$e^{\pm ikna}$ 是简并的一对；需要实的本征向量时取它们的组合 $\cos kna$、$\sin kna$。

自测题

1. 求 $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ 的本征值与归一化本征向量，并写出 $O$，验证 $O^{\mathsf T}AO$ 为对角矩阵。［答：$3$，$(1,1)/\sqrt2$；$-1$，$(1,-1)/\sqrt2$。］
2. 用 (B2.7) 计算 $\iint e^{-(x^2 + xy + y^2)}dx\,dy$。［答：$\frac12\mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x = x^2 + xy + y^2$ 给出 $A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$，$\det A = 3$，积分 $= 2\pi/\sqrt3$，与附录 A6 的自测题 3 一致。］
3. 对上题的分布 $p\propto e^{-(x^2 + xy + y^2)}$，求 $\langle x^2\rangle$ 与 $\langle xy\rangle$。［答：$A^{-1} = \frac13\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$，$\langle x^2\rangle = 2/3$，$\langle xy\rangle = -1/3$。］
4. 求 $3\times3$ 循环矩阵 $\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$ 的本征值。［答：$\lambda(k) = 2 - 2\cos(2\pi m/3)$，$m = 0,1,2$：$0,3,3$。本征值 0 对应整体平移 $(1,1,1)$。］
5. 证明：若 $A$ 实对称且正定，则 $A^{-1}$ 也正定。［提示：本征值为 $1/\lambda_a$。］