格物致知
数学基础 · 附录 B 线性代数要点 · B4

复向量空间、厄米算符与狄拉克记号

Complex Vector Spaces, Hermitian Operators and Dirac Notation
已完成速查更新于 2026.10.08统计物理讲义 v1.0

量子力学的数学语言是复向量空间中的线性代数。正文用到本节的地方：量子力学的基本框架（§P2.1）、密度矩阵与量子系综（§P2.8）、量子涨落–耗散定理中的"插入完备基"（§24.3）；附录 A14 中的傅里叶展开也可以看成"换一组基"。本节可以看作附录 B1–B3 的复数版本。

§B4.1复向量与复内积

nn 维复向量 a=(a1,…,an)\mathbf a = (a_1,\dots,a_n)，aia_i 为复数。复内积定义为

⟨a,b⟩=∑iai∗bi(B4.1)\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = \sum_ia_i^\ast b_i \tag{B4.1}

第一个向量取共轭，是为了让长度的平方 ⟨a,a⟩=∑∣ai∣2\langle\mathbf a,\mathbf a\rangle = \sum\lvert a_i\rvert^2 是正实数（若不取共轭，向量 (1,i)(1,i) 的"长度平方"会是 1+i2=01 + i^2 = 0）。性质：⟨a,b⟩∗=⟨b,a⟩\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle^\ast = \langle\mathbf b,\mathbf a\rangle；对第二个向量是线性的，对第一个向量是"共轭线性"的（⟨ca,b⟩=c∗⟨a,b⟩\langle c\mathbf a,\mathbf b\rangle = c^\ast\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle）。

函数也是向量。波函数 ψ(x)\psi(x) 可以看成"分量"ψ(x)\psi(x) 由连续指标 xx 标记的向量，内积为

⟨ϕ,ψ⟩=∫ϕ∗(x)ψ(x) dx(B4.2)\langle\phi,\psi\rangle = \int\phi^\ast(x)\psi(x)\,dx \tag{B4.2}

（求和换成积分。）附录 A14 中 {einx/2π}\lbrace e^{inx}/\sqrt{2\pi}\rbrace 就是 [−π,π][-\pi,\pi] 上函数的一组正交归一基；函数在这些基向量上的分量是 2π cn\sqrt{2\pi}\,c_n（cnc_n 为 (A14.3) 的傅里叶系数），帕塞瓦尔恒等式 (A14.5) 两边乘以 2π2\pi，就是"长度的平方等于各分量模方之和"。

§B4.2狄拉克记号

狄拉克把向量记作右矢 ∣ψ⟩\lvert\psi\rangle（想成列向量），它的共轭转置记作左矢 ⟨ψ∣\langle\psi\rvert（行向量），内积记作 ⟨ϕ∣ψ⟩\langle\phi\vert\psi\rangle（行乘列）。这套记号的好处是"按积木的方式"自动组合：

  • 外积 ∣a⟩⟨b∣\lvert a\rangle\langle b\rvert 是一个矩阵（算符）：作用在 ∣ψ⟩\lvert\psi\rangle 上得 ∣a⟩⟨b∣ψ⟩\lvert a\rangle\langle b\vert\psi\rangle——一个数乘以 ∣a⟩\lvert a\rangle。
  • 对正交归一基 {∣n⟩}\lbrace\lvert n\rangle\rbrace（⟨m∣n⟩=δmn\langle m\vert n\rangle = \delta_{mn}），P^n=∣n⟩⟨n∣\hat P_n = \lvert n\rangle\langle n\rvert 是向 ∣n⟩\lvert n\rangle 方向的投影算符，P^n2=P^n\hat P_n^2 = \hat P_n。
  • 完备性：所有投影之和是单位算符，
∑n∣n⟩⟨n∣=1^(B4.3)\sum_n\lvert n\rangle\langle n\rvert = \hat 1 \tag{B4.3}

由它立即得到展开式 ∣ψ⟩=∑n∣n⟩⟨n∣ψ⟩\lvert\psi\rangle = \sum_n\lvert n\rangle\langle n\vert\psi\rangle。"在任何地方插入一个 1^\hat1"是量子力学计算中最常用的一步。

  • 矩阵元 Amn=⟨m∣A^∣n⟩A_{mn} = \langle m\vert\hat A\vert n\rangle；在两边各插入 (B4.3)，A^=∑m,n∣m⟩Amn⟨n∣\hat A = \sum_{m,n}\lvert m\rangle A_{mn}\langle n\rvert——算符由它在某组基中的矩阵完全确定。

连续的基。坐标本征态 ∣x⟩\lvert x\rangle 满足 ⟨x∣x′⟩=δ(x−x′)\langle x\vert x'\rangle = \delta(x - x')、∫∣x⟩⟨x∣ dx=1^\int\lvert x\rangle\langle x\rvert\,dx = \hat1，波函数就是分量 ψ(x)=⟨x∣ψ⟩\psi(x) = \langle x\vert\psi\rangle，(B4.2) 就是 ⟨ϕ∣ψ⟩=∫⟨ϕ∣x⟩⟨x∣ψ⟩dx\langle\phi\vert\psi\rangle = \int\langle\phi\vert x\rangle\langle x\vert\psi\rangle dx。动量本征态 ⟨x∣p⟩=eipx/ℏ/2πℏ\langle x\vert p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}，由 (A14.12)，⟨p∣p′⟩=∫ei(p′−p)x/ℏ2πℏdx=δ(p−p′)\langle p\vert p'\rangle = \int\frac{e^{i(p'-p)x/\hbar}}{2\pi\hbar}dx = \delta(p - p')。于是 ⟨p∣ψ⟩=∫e−ipx/ℏ2πℏψ(x) dx\langle p\vert\psi\rangle = \int\frac{e^{-ipx/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\psi(x)\,dx：傅里叶变换就是从坐标基换到动量基。

§B4.3伴随、厄米算符与幺正算符

算符 A^\hat A 的伴随 A^†\hat A^\dagger 由 ⟨ϕ∣A^ψ⟩=⟨A^†ϕ∣ψ⟩\langle\phi\vert\hat A\psi\rangle = \langle\hat A^\dagger\phi\vert\psi\rangle（对一切 ϕ,ψ\phi,\psi）定义；矩阵形式是共轭转置，(A†)mn=Anm∗(A^\dagger)_{mn} = A_{nm}^\ast。(A^B^)†=B^†A^†(\hat A\hat B)^\dagger = \hat B^\dagger\hat A^\dagger。

厄米算符：A^†=A^\hat A^\dagger = \hat A。它是实对称矩阵的复数推广。§P2.1 证明了：本征值是实数，不同本征值的本征向量正交。与附录 B2 完全平行，存在由本征向量组成的正交归一基，A^=∑nan∣an⟩⟨an∣\hat A = \sum_na_n\lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert（谱分解，对比 (B2.5)）。可观测量对应厄米算符，正是因为测量值必须是实数。

例 1：动量 p^=−iℏ d/dx\hat p = -i\hbar\,d/dx 是厄米的。对在无穷远处为零的函数分部积分：∫ϕ∗(−iℏψ′)dx=[…]+iℏ∫ϕ′∗ψ dx=∫(−iℏϕ′)∗ψ dx\int\phi^\ast(-i\hbar\psi')dx = [\ldots] + i\hbar\int\phi'^\ast\psi\,dx = \int(-i\hbar\phi')^\ast\psi\,dx。注意因子 −i-i 必不可少：d/dxd/dx 本身是"反厄米"的。

例 2：2×22\times2 厄米矩阵 (abb∗d)\begin{pmatrix}a & b\\ b^\ast & d\end{pmatrix}（a,da,d 为实数）的本征值为 a+d2±(a−d2)2+∣b∣2\frac{a+d}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{a-d}{2}\right)^2 + \lvert b\rvert^2}，总是实数。§10.5 双原子链经质量加权后的动力学矩阵就是这种形式（a=2K/M1a = 2K/M_1，d=2K/M2d = 2K/M_2，b=−K(1+e−ika)/M1M2b = -K(1 + e^{-ika})/\sqrt{M_1M_2}，见 §B3.4），所以 ω2\omega^2 是实数。

幺正算符：U^†U^=1^\hat U^\dagger\hat U = \hat1。它保持内积不变（⟨U^ϕ∣U^ψ⟩=⟨ϕ∣ψ⟩\langle\hat U\phi\vert\hat U\psi\rangle = \langle\phi\vert\psi\rangle），是正交矩阵的复数推广。时间演化 U^(t)=e−iH^t/ℏ\hat U(t) = e^{-i\hat Ht/\hbar} 是幺正的，所以总概率守恒。厄米矩阵可以用幺正矩阵对角化：A=UΛU†A = U\Lambda U^\dagger。

§B4.4对易子与同时对角化

对易子 [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A。常用恒等式：

[A^,B^C^]=[A^,B^]C^+B^[A^,C^](B4.4)[\hat A,\hat B\hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] \tag{B4.4}

例如由 [x^,p^]=iℏ[\hat x,\hat p] = i\hbar 得 [x^,p^2]=2iℏp^[\hat x,\hat p^2] = 2i\hbar\hat p。

定理：两个厄米算符对易（[A^,B^]=0[\hat A,\hat B] = 0），当且仅当存在一组由它们的共同本征向量组成的正交归一基。（一个方向：设 A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\lvert a\rangle = a\lvert a\rangle，则 A^(B^∣a⟩)=B^A^∣a⟩=a B^∣a⟩\hat A(\hat B\lvert a\rangle) = \hat B\hat A\lvert a\rangle = a\,\hat B\lvert a\rangle，即 B^\hat B 把 A^\hat A 的本征值为 aa 的子空间映到自身；在每个这样的子空间中再把 B^\hat B 对角化即可。）物理含义：对易的可观测量可以同时取确定值。统计力学中：[H^,N^]=0[\hat H,\hat N] = 0 使巨正则系综 e−β(H^−μN^)e^{-\beta(\hat H - \mu\hat N)} 可以在共同本征态中写成对角形式；平衡态要求 [H^,ρ^]=0[\hat H,\hat\rho] = 0（(P2.19)）。

警告：对不对易的算符，eA^+B^≠eA^eB^e^{\hat A + \hat B}\ne e^{\hat A}e^{\hat B}。例如 e−β(T^+V^)≠e−βT^e−βV^e^{-\beta(\hat T + \hat V)}\ne e^{-\beta\hat T}e^{-\beta\hat V}——动能与势能不对易，这是量子配分函数与经典配分函数差别的来源之一（另一个来源是全同粒子的交换对称性，§12.4）；差别是 ℏ\hbar 的高阶小量，在高温（热波长远小于势能变化的尺度）时可以忽略。

§B4.5迹

Tr A^=∑n⟨n∣A^∣n⟩\mathrm{Tr}\,\hat A = \sum_n\langle n\vert\hat A\vert n\rangle（对角元之和）。

  1. 循环性：Tr(A^B^)=∑n,mAnmBmn=Tr(B^A^)\mathrm{Tr}(\hat A\hat B) = \sum_{n,m}A_{nm}B_{mn} = \mathrm{Tr}(\hat B\hat A)，从而 Tr(A^B^C^)=Tr(C^A^B^)=Tr(B^C^A^)\mathrm{Tr}(\hat A\hat B\hat C) = \mathrm{Tr}(\hat C\hat A\hat B) = \mathrm{Tr}(\hat B\hat C\hat A)。
  2. 与基无关：Tr(U†AU)=Tr(AUU†)=Tr A\mathrm{Tr}(U^\dagger AU) = \mathrm{Tr}(AUU^\dagger) = \mathrm{Tr}\,A。所以可以在最方便的基中计算；在本征基中 Tr A^=∑nan\mathrm{Tr}\,\hat A = \sum_na_n（本征值之和）。
  3. 统计力学中：Z=Tr e−βH^Z = \mathrm{Tr}\,e^{-\beta\hat H} 在能量本征基中就是 ∑ie−βEi\sum_ie^{-\beta E_i}；平均值 ⟨A⟩=Tr(ρ^A^)\langle A\rangle = \mathrm{Tr}(\hat\rho\hat A)（(P2.18)）。

例：§24.3 的关联函数。设 ρ^=∑npn∣n⟩⟨n∣\hat\rho = \sum_np_n\lvert n\rangle\langle n\rvert（∣n⟩\lvert n\rangle 为能量本征态），A^(t)=eiH^t/ℏA^e−iH^t/ℏ\hat A(t) = e^{i\hat Ht/\hbar}\hat Ae^{-i\hat Ht/\hbar}。则

⟨A(t)A(0)⟩=∑npn⟨n∣eiH^t/ℏA^e−iH^t/ℏA^∣n⟩=∑npneiEnt/ℏ∑m⟨n∣A^∣m⟩e−iEmt/ℏ⟨m∣A^∣n⟩\langle A(t)A(0)\rangle = \sum_np_n\langle n\vert e^{i\hat Ht/\hbar}\hat Ae^{-i\hat Ht/\hbar}\hat A\vert n\rangle = \sum_np_ne^{iE_nt/\hbar}\sum_m\langle n\vert\hat A\vert m\rangle e^{-iE_mt/\hbar}\langle m\vert\hat A\vert n\rangle

（第二步：⟨n∣eiH^t/ℏ=eiEnt/ℏ⟨n∣\langle n\rvert e^{i\hat Ht/\hbar} = e^{iE_nt/\hbar}\langle n\rvert；在两个 A^\hat A 之间插入 ∑m∣m⟩⟨m∣\sum_m\lvert m\rangle\langle m\rvert，而 e−iH^t/ℏ∣m⟩=e−iEmt/ℏ∣m⟩e^{-i\hat Ht/\hbar}\lvert m\rangle = e^{-iE_mt/\hbar}\lvert m\rangle。）对厄米的 A^\hat A，Anm=Amn∗A_{nm} = A_{mn}^\ast，所以结果是 ∑n,mpn∣Amn∣2ei(En−Em)t/ℏ\sum_{n,m}p_n\lvert A_{mn}\rvert^2e^{i(E_n - E_m)t/\hbar}——正是正文中的式子。

§B4.6算符的函数

对厄米算符，f(A^)=∑nf(an)∣an⟩⟨an∣f(\hat A) = \sum_nf(a_n)\lvert a_n\rangle\langle a_n\rvert（对比 (B2.10)）。另一种算法是幂级数。§P2.8 中的例子：σ^z2=1^\hat\sigma_z^2 = \hat1，所以 exσ^z=∑nxnσ^znn!e^{x\hat\sigma_z} = \sum_n\frac{x^n\hat\sigma_z^n}{n!} 中偶次项给出 cosh⁡x\cosh x、奇次项给出 σ^zsinh⁡x\hat\sigma_z\sinh x：exσ^z=cosh⁡x+σ^zsinh⁡xe^{x\hat\sigma_z} = \cosh x + \hat\sigma_z\sinh x。

泡利矩阵

σx=(0110),σy=(0−ii0),σz=(100−1)(B4.5)\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \tag{B4.5}

满足 σi2=1\sigma_i^2 = 1，σxσy=iσz\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z（及其轮换），不同的 σi\sigma_i 反对易，Tr σi=0\mathrm{Tr}\,\sigma_i = 0。任何 2×22\times2 厄米矩阵都可以写成 a0+a⋅σa_0 + \mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma（a0a_0、a\mathbf a 为实数）。由于 (n⋅σ)2=1(\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma)^2 = 1（n\mathbf n 为单位向量），a⋅σ\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma 的本征值是 ±∣a∣\pm\lvert\mathbf a\rvert，所以 a0+a⋅σa_0 + \mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma 的本征值是 a0±∣a∣a_0\pm\lvert\mathbf a\rvert——这就是 (B2.3) 与 §B2.4 例 3 的另一种写法。

§B4.7张量积：多粒子的态空间

两个子系统的态空间维数分别为 n1n_1、n2n_2 时，复合系统的态空间维数是 n1n2n_1n_2，基为 ∣i⟩⊗∣j⟩\lvert i\rangle\otimes\lvert j\rangle（常简写为 ∣ij⟩\lvert ij\rangle）。例如两个自旋 1/2 的基为 ∣↑↑⟩,∣↑↓⟩,∣↓↑⟩,∣↓↓⟩\lvert\uparrow\uparrow\rangle,\lvert\uparrow\downarrow\rangle,\lvert\downarrow\uparrow\rangle,\lvert\downarrow\downarrow\rangle。NN 个自旋的态空间是 2N2^N 维——维数随粒子数指数增长，这就是量子多体问题无法直接对角化、必须借助统计方法与近似的原因。（经典的伊辛模型也有 2N2^N 个组态；第32章的蒙特卡罗方法用抽样代替对全部组态的求和，正是绕开这种指数增长的办法。）只作用在第一个子系统上的算符写作 A^⊗1^\hat A\otimes\hat1。对第二个子系统"求迹"（部分迹）得到第一个子系统的约化密度矩阵 ρ^1=Tr2ρ^\hat\rho_1 = \mathrm{Tr}_2\hat\rho，它的冯·诺伊曼熵就是 §33.5 中的纠缠熵。

自测题

  1. 求厄米矩阵 (1i−i1)\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix} 的本征值与本征向量。［答：00，(1,i)/2(1,i)/\sqrt2；22，(1,−i)/2(1,-i)/\sqrt2。二者正交：按 (B4.1) 第一个向量取共轭，1⋅1+i∗⋅(−i)=1+(−i)(−i)=1−1=01\cdot1 + i^\ast\cdot(-i) = 1 + (-i)(-i) = 1 - 1 = 0。］
  2. 用 (B4.4) 证明 [x^,p^2]=2iℏp^[\hat x,\hat p^2] = 2i\hbar\hat p，并求 [x^,H^][\hat x,\hat H]（H^=p^2/2m+V(x^)\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)）。［答：iℏp^/mi\hbar\hat p/m。］
  3. 证明 Tr(A^B^)=Tr(B^A^)\mathrm{Tr}(\hat A\hat B) = \mathrm{Tr}(\hat B\hat A)，并举例说明 Tr(A^B^C^)≠Tr(B^A^C^)\mathrm{Tr}(\hat A\hat B\hat C)\ne\mathrm{Tr}(\hat B\hat A\hat C) 可能发生。［提示：取泡利矩阵，Tr(σxσyσz)=2i\mathrm{Tr}(\sigma_x\sigma_y\sigma_z) = 2i，Tr(σyσxσz)=−2i\mathrm{Tr}(\sigma_y\sigma_x\sigma_z) = -2i。］
  4. 证明 (n⋅σ)2=1(\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma)^2 = 1（∣n∣=1\lvert\mathbf n\rvert = 1）。［提示：用 σi2=1\sigma_i^2 = 1 与 σiσj=−σjσi\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i（i≠ji\ne j）。］
  5. 对 ρ^=12(1+σ^ztanh⁡x)\hat\rho = \frac12(1 + \hat\sigma_z\tanh x)，计算 Tr ρ^2\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2，并说明它何时等于 1。［答：12(1+tanh⁡2x)\frac12(1 + \tanh^2x)；只有 x→±∞x\to\pm\infty（T→0T\to0）时趋于 1，即纯态。］

引用本篇的笔记

5 篇
预备章 P2量子力学要点（详见附录 B4。第 24 章线性响应与涨落–耗散定理插入完备基（提示 B4），⟨A(t)A(0)⟩=∑n,mpn∣Amn∣2ei(En−Em)t/ℏ\langle A(t)A(0)\rangle = \sum_{n,m}p_n\lvert A_{mn}\rvert^2e^{i(E_n - E_m)t/\hbar}，所以附录 A14傅里叶级数、傅里叶变换与 δ 函数这与"在正交基下求向量的分量"完全相同：einxe^{inx} 是函数空间中一组正交的"基向量"，cnc_n 是 ff 在各基向量上的投影（附录 B4）。附录 B2实对称矩阵的正交对角化由 (B2.10) 与迹的循环性质（Tr ABC=Tr CAB\mathrm{Tr}\,ABC = \mathrm{Tr}\,CAB，附录 B4）：附录 B3行列式与线性变换的体积因子这个矩阵是厄米的——转置后取共轭等于自身——所以 ω2\omega^2 作为它的本征值必为实数，见附录 B4。
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